《清华版线性代数第二章课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华版线性代数第二章课件（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 线性方程组,习题一 消元法,一、用消元法解方程组,二、,方程组有解时 的取值， 并求方程组的解,解：,时，方程组有解,且42，有无穷解,习题二 n维向量空间,一、向量,与向量,相等吗？应怎样表达,他们之间的关系？,不相等,二、设,求向量,，使,解：,三、,满足,求,解：,习题三 向量间的线性关系,一、设,(1) 当,为何值时，向量组,线性相关？,(2) 当,为何值时，向量组,线性无关？,(3) 当,线性相关时，,可否由,线性表示?,若能，求其表示系数.,(1),有非零解,时，线性相关,(2),时，线性无关,(3),二、试判断向量,可否由向量组,线性表出？若能，请试写出其一种表示法.,解
2、:,令,三、 判断向量 可否由向量组,线性表出？若能请写出一种表达形式。,解：,令,四、判断下列向量组是否线性相关，若相关，试找出 其中一个向量，使得这个向量可由其余向量线性表出，并写出它的一种表示方式：,(1),解：,方程组只有零解,向量组线性无关,(1),解：,五、证明：若,线性相关，而,线性无关，则：,(1),可由,线性表示；,（2）,不可由,线性表示.,证明：,线性无关,线性无关,线性相关,线性表示；,线性相关,存在一组不全为零的数，使得,成立,不妨设,线性表示；,(1),(2) 反证：假设,可由,线性表示.,又,线性表示；,线性表示；这与,线性无关矛盾,不可由,线性表示.,六、设向量
3、,是线性无关的一组四维向量，,则任意一个四维向量,都可以由,线性表示.,证明：,是四维的线性无关向量组,是五个四维向量,线性相关,可由,线性表示且表示方法唯一,习题四 向量组的秩,一、已知向量组,的秩为,证明:该向量组中的任意,个线性无关的向量都是它的一个极大无关组.,证明:设,是向量组中的任意,个线性无关的向量,又,在,中任意 个向量线性相关,线性相关,线性表示.,( 为 中除 的任意向量),线性表示.,该向量组中的任意,个线性无关的向量都是它的,二、证明：若向量组,线性相关，则向量组,也线性相关.,证明：,可由,线性表示,又,可由,线性表示,线性相关,也线性相关.,三、设,是,维列向量组,
4、试证:,的充要条件是任何,维向量均可由,线性表示.,证明：必要性：,线性无关,个,向量，线性相关,可由 线性表示,充分性：已知任何,维向量均可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,四、证明：若向量组,可由向量组,线性表出，,线性相关，则,也线性相关.,证明：,线性相关，则,设,的一个极大无关组,可由向量组,线性表出，,可由向量组,线性表出，,线性相关.,习题五 矩阵的秩,一、设矩阵,若它的秩等于3，求,的值.,解：,二、计算下列矩阵的秩,（1）,（2）,三、设向量组,求其极大无关组.,解：,四、试求向量组,的秩和一极大无关组，
5、并将其余向量用此极大无关组表示.,解：,习题六 线性方程组解的判定,一、,取何值时，方程组,有非零解？,解：,有非零解,二、,取何值时，线性方程组,有解？无解？,解：,时，有解,时，无解,三、方程组,问：当,为何值时，方程组有解？无解？,有解时，是唯一解还是无穷解？,解：,当,时，无穷解,当,时，无解,习题七 线性方程组解的结构,一、求齐次方程组,的一个基础解系，并用此基础解系表示通解.,解：,二、求齐次线性方程组,的一个基础解系.,解：,三、求线性方程组,的全部解.,解：,四、,取何值时，线性方程组,有解，并求出全部解.,解：,当,时，有解,自测题,填空题,1. 向量,则当 时，,线性相关；
6、,当,时，,线性无关。,解：,2. 设向量,那么这三个向量线性无关,3. 设向量组,则该向量组的一个极大无关组是,4. 设 为,矩阵，以,为系数矩阵的齐次线性方程组,仅有零解的充要条件是,的列向量组线性 无关.,解：,5. 非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是其导出组,只有 零解.,6. 设,阶行列式,，则线性方程组,无 解.,解：,线性无关,7. 方程组,有唯一 解.,中每一行元素之和均为零，且秩为,解：,8. 设矩阵,，若,则以,为系数矩阵的齐次线性方程组的通解为,解：,（经过初等行变换此性质不变）,基础解系含有,二、选择题,1. 若向量,与,线性相关，则,的取值为,（A）,（B）,（C）
7、,（D）,为任意数.,2. 向量组,的秩为,(A)1； (B) 2； (C) 3； (D) 4.,3. 设向量组,线性无关，则,的值为,(A),（B）,（C）,（D）,解：,可由 线性表示,4. 设向量组(), () .()是()的部分组， 则下列断语正确的是,(A) 若()线性相关，则 （）也线性相关； (B) 若()线性无关，则 （）也线性无关； (C) 若（）线性无关，则()也线性无关； (D) ()的相关性与（）的相关性没有关系.,5.若有一组,维向量,使得任一,维向量,都可由这个向量组线性表则：,（A）,（B）,（C）,（D）,解：,可由 线性表示,6. 设矩阵,的秩为3，则,三者：
8、,(A)都不为1； (B)都不为零；(C)互不相等；(D)都相等.,7. 设方程组,有非零解，则,（A）,（B）,（C）,（D）,解：,8. 若齐次线性方程组,有非零解，则,（A）,（B）,（C）,（D）,都有可能.,解：,有非零解,都有可能.,9. 若齐次线性方程组,有非零解，,且系数矩阵的秩为,，则它的基础解系中含有向量的个数为：,（A）,（B）,（C）,（D）,三、计算题,1. 已知向量,.试求,用,线性表示的表达式.,解：,2. 已知向量组,（1）试求该向量组的一个极大线性无关组与秩； （2）写出每个向量用极大无关组线性表示的表达式.,解：,为其一个极大无关组,3. 求方程组的全部解,解：,四、证明题,1. 设向量组,线性相关，且它们都不是零向量,求证：其中至少有两个向量，这两个向量中的每一个都可 由其余向量线性表示.,证明：,线性相关,其中至少有一个向量可由其余向量线性表示,设：,都不是零向量,中至少有一项不为零,可由其余向量表示,至少有两个向量，这两个向量中的每一个都可 由其余向量线性表示.,2. 若齐次线性方程组,中方程个数,，则它有非零解.,证明：,所以方程组有非零解.,
