第九章简谐振动PPT

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1、第九章 振 动 和 波,第九章 振动和波,广义的振动物理量随时间作周期性变化称为振动。,（2）周期性在 T时间内状态能完全重复。,振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。,特点：（1）有平衡点，且具有重复性。,Vibration and wave,机械振动物体在某一位置附近作往复运动。, 机械振动分类,按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。,其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。,称作谐振动的微分方程。,弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator,在水平方向上：,

2、由牛顿第二定律，有：,令：,则有：,9-1 简谐振动,一、简谐振动的微分方程和运动方程,（负号表示力与位移方向相反）,幻灯片 5,1、简谐振动的微分方程,2、运动学方程：,由：,可解得：,或：,一般写成：,本课程采用余弦形式,因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动,振动曲线,3、简谐振动的加速度与速度,由,质点振动的速度,质点振动的加速度,质点振动的速度和加速度也是谐振动,若位移x，满足,简谐振动的判椐：,或,或,则称x作简谐振动（较为广泛，不仅适用于机械振动）,(2)角频率：angular frequency 振动的快慢,周期T: Period,频率：,(3)初相位：,Phase 描述运动状态

3、的量,为初相位，Initial Phase,(1)振幅A: amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）,4、谐振动的三个特征量,5、位移、速度和加速度的相位关系,以上结果表明：,(1)v,a与x的相同,(2),(3)a与x方向相反，且成正比,振幅,x、v、a相位依次差/2。,写成,二、初始条件确定振幅和初相位,初始条件：,写为：,得：,即：,有两个值，需（1） 或（2）进行筛选。,也可直接由（1）或由（2）求出。,三、坐标原点的选取对于振动方程的影响,(以竖直弹簧振子为例),在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。,例题1 单摆 Simple Pendulum,解：

4、单摆受力如图所示,对悬挂点的力矩：,由：,若很小，则有：,即：,其中：,动画,证明:设圆环偏离角度为,因此所作振动为谐振,四 、谐振动的其它表示法,1、振动曲线法,（1）振动曲线的峰（或谷）对应的位移的大小即是振幅 .,（2）振动曲线上表示振动状态相同的相邻两点对应的时间间隔就是周期T 。,（3）由初状态v0、x0可得出初相位。,（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。,Rotating vector method,1.参考圆法,沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取在x轴）的投影的运动为简谐振动。,半径R振幅A 角速度角频率,t时刻A矢量在x轴上的投影,初始矢径与x轴的交角初相位,

5、动画,2.旋转矢量,用旋转矢量法处理问题更直观、 更方便，必须掌握。,表示出三个特征量,2、旋转矢量表示法,例题3一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s，当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正向运动。,求：(1)此振动的表达式 (2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度 (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间,解:(1)取平衡位置为坐标原点,设,其中,A亦为已知，只需求,由t=0s时，x0=0.06m，可得：,在-到之间取值：,取哪一个值要看初始条件，由于：,所以：,由于t=0时，质点向正 x 方向运动，所以 v00,因此，应取：,于是

6、，此简谐振动的表达式：,利用旋转矢量法求解很直观，根据初始条件就可画出如图所示的振幅矢量的初始位置，从而得到：,(2),将 t=T/4=0.5s 代入上两式，以及位移表达式，可求得：,此时旋转矢量位置如图：,(3)通过平衡位置时，x=0，由位置表达式，可得：,由此可得：,第一次通过，取k=1，又由于=/s，所以：,从起始时刻到第一次质点通过原点，振幅矢量转过的角度为：,故：,有旋转矢量图可知：,例题4 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。,解：设该简谐振动的运动方程为,根据已知条件求出各量代入上式即可,由图可知，A=2cm，当t=0时,因为：v00,画出矢量图：,

7、又知 t=1s 时，位移达到正的最大值， 即：,故：,因而有：, 简谐振动的势能：,五 、简谐振动的能量,以水平的弹簧振子为例, 简谐振动的动能：,简谐振动的总能量：,弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。,势能的时间平均值:,动能的时间平均值:,这些结论同样适用于任何简谐振动。,总能的时间平均值:,* 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。,* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比,* 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半。,结论：,3.用余弦函数描述一些振子的振动，若速度-时间函数关系如图，则振动的初相位为/6；/

8、3；/2；5/6,4.无阻尼自由简谐振动的周期和频率由 所决定。对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由 决定。,振动系统本身的性质,初始条件,1.一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量E变为 A: E/4; B: E/2; C: 2E; D: 4E,本章作业：9-3， 9-5， 9-10， 9-11,代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位,9-2 简谐振动的合成,一、 同方向、同频率的简谐振动的合成,合振幅,Composition of two SHM,仍然是同频率 的简谐振动,由,分别两边平方求

9、和后整理得：,几何方法：,上面得到：,讨论一：,合振幅最大。,当,两分振动同步时 合振动的振幅等于两分振动振幅之和,讨论二：,当 时，,讨论三：,一般情况：,两分振动反相位时 合振动的振幅等于两分振动振幅之差,例1。两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一简谐振动的相位差为-1=/6,若第一个简谐振动的振幅为,则第二个谐振动的振幅为 cm,第一、二两个谐振动的相位差2-1= 。,解：由矢量合成法则：,二、同方向、不同频率的简谐振动的合成,为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：,Same direction Di

10、fferent Frequency,合成振动 表达式：,利用三角函数关系式：,当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分， 合成振动是以 为角频率的谐振动。,其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动，这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。,一般情况下，合振动无明显的周期性,单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频,显然，拍频是振动 的频率的两倍。 即拍频为：,应用：可用于校准钢琴,用旋转矢量说明拍频,每追赶一次重合一次，振幅达到最大一次。拍频为：,音叉演示,三、方向垂直、同频率简谐振动的合成,设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即,上式是

11、个椭圆方程，说明质点的运动轨迹是椭圆，具体形状由相位差 决定。,讨论1,所以是在 直线上的运动。,讨论2,所以是在 直线上的振动。,讨论3,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。,质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向。,讨论5,讨论4,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。,讨论6,则为任一椭圆方程。,综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在椭圆上进行（圆和直线是退化了的椭圆）。,四、垂直方向、不同频率简谐振动的合成,一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论,1。 视为

12、同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。,当 时是顺时针转； 时是逆时针转。,2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形,称为李萨如图形。,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,9-3 阻尼振动和受迫振动 共振,一、阻尼振动 振幅随时间减少的振动。,1。阻尼的分类,a.摩擦阻尼：机械能转化为热能,b.辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）,2。阻尼振动的方程,振动系

13、统受介质的粘滞阻力：,Damped oscillations Forced oscillations Resonance,阻尼振动的动力学方程：,令：,称 为振动系统的固有角频率， 称 为阻尼系数。,（1）阻尼较小时:,此方程的解：,这种情况称为欠阻尼，,阻力使周期增大。,由初始条件决定A和初相位 ,设,即有：,a.周期T：一个位移极大到另一个极大出现的时间间隔。称准周期运动。,b.T比无阻尼时稍长。,（2）阻尼较大时， 方程的解：,其中 是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。,无振动发生。,称之为临界阻尼情况。它是振动系统 刚刚不能作准周期振动，而很快回到 平衡位置的情况，应用在

14、天平调衡中。,是由初始条件 决定的积分常数。,（3）如果 方程的解：,是从有周期性因子 到无周期性的临界点。,1。谐振子的受迫振动：用周期性力驱动的振动。,二、 谐振子的受迫振动,设强迫力,阻尼力：,是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。 由微分方程理论：,非齐次微分方程的通解= 齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。,2。振动的特点： 减幅振动和简谐振动的叠加，t 很大时，作=策的简谐振动。,其解为：,经过足够长的时间，称为定态解：,该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；,稳定态时的振幅,受迫振动的初相位：,讨论：,较小,若 很小， 很大。,求振幅 对频率的极值，得出,共振的角频率。,共振

15、的振幅。,振幅有极大值,三、 共振,1。位移共振：A达到最大值的振动状态（受迫振动）,当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振（resonance)。,发生位移共振时,因振幅最大, 所以振动系统能量最大,系统 形变最厉害.,2。速度共振,达到极大值,叫做速度共振.,此时系统动能也达到最大值, 也叫能量共振.,(2)速度振幅随阻尼的减小而增大,但共振频率皆为,3.共振的危害及应用.,利：乐器利用之可提高音效、 选择节目、器官成像（核磁共振）,害：桥梁、建筑物等易受破坏。,作业：9-6 9-8 9-12 9-13,弹 性 波,声波、水波、电磁波都是物

16、理学中常见的波。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，光波是一种电磁波。,机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。下面以机械波为 例介绍波的一些物理概念。,但它们都有类似的波动方程。,Elastic Wave,2.弹性波产生的条件:(1)要有振源(波源) (2)要有传播振动的弹性媒质,3.横波和纵波 (Transversal Wave and Longitudinal Wave),(1)横波:传播方向与振动方向垂直(绳上波) (2)纵波:传播方向与振动方向平行(空气中声波),任一波例如，水面波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。,由弹性力组合 的连续介质,一.基本概念 1.弹性波:机械振动在弹性媒质中的传播,Elastic Wa