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1、热力学统计物理,回顾 Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 8.1 热力学量的统计表达式 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体 8.3 Bose Einstein 凝聚 8.4 光子气体,新课 8.5金属中的自由电子气体,知识回顾: 第七章,Chap.7 玻尔兹曼统计,粒子的配分函数Z1,基本热力学函数、内能、物态方程、熵、自由能,系统的全部平衡性质,满足经典极限条件的玻色和费米系统,知识回顾: 第七章,Chap.8 玻色统计和费米统计,8.1 热力学量的统计表达式,抛弃粒子轨道的概念,（1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微
2、观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制,知识回顾: 8.1 热力学量的统计表达式,Bose 系统,Fermi系统,知识回顾: 8.1 热力学量的统计表达式,知识回顾： 8.2弱简并理想玻色和费米气体,Chap.8 玻色统计和费米统计,Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：,所谓“弱简并条件”即气体的,很大,很小，但不可忽略！,知识回顾： 8.2弱简并理想玻色和费米气体,Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体,弱简并条件下的系统 内能的差异,（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况
3、下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 -等效的吸引作用,知识回顾：8.3 Bose Einstein 凝聚,1.理想Bose气体的化学势,2.临界温度（凝聚温度）：,TTc时，就有宏观量级的粒子在能级=0凝聚，这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。,5. Bose-Einstein 凝聚的条件：,4. Bose-Einstein 凝聚,Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0,3. TTc时：,知识回顾：8.4 光子气体,低频极限：,瑞利(1900)-金斯(1905)公式,高频极限：,维恩(1896
4、)公式,普朗克公式,知识回顾：8.4 光子气体,空窖辐射的内能,斯特藩-玻耳兹曼定律,m与温度T成正比-维恩位移定律(1893),光子气体的热力学函数,知识回顾：8.4 光子气体,新课：8.5金属中的自由电子气体,8.5金属中的自由电子气体,内容摘要：,讨论强简并的 Fermi气体的特性,低温极限（T0K）时自由电子的性质,Fermi分布,T0K时自由电子的性质,一、近似条件和Fermi分布函数,二、低温极限（T=0K）下自由电子的性质,三、T0K时金属中自由电子的性质,四、关于模型的讨论,新课：8.5金属中的自由电子气体,一、近似条件和Fermi分布函数,1.分析,1）原子结合成金属后，价电
5、子脱离原子可在整个 金属中运动，形成公有电子。,2）失去电子以后的原子成为离子，在空间成为 规则的点阵。,3）在初步的近似中，人们把共有电子看作在金属 内部做自由运动的近独立粒子。,金属的高电导率和高热导率说明了金属中自由 电子的存在。,存在的困难：能量均分定理的结果与实际不符！,新课：8.5金属中的自由电子气体,存在的困难：能量均分定理的结果与实际不符！,能量均分定理：一个电子对金属的热容量应有 3/2k的贡献,实际：除在极低温度下，金属中自由电子的 热容量与离子振动的热容量相比可以忽略。,索末菲1928年根据Fermi分布成功地解决了这个问题.,新课：8.5金属中的自由电子气体,2.金属中
6、的自由电子气体模型：,1) 可以认为这些公有电子处在正粒子的平均场中运动，由于势能零点的任意性，可以把这些公有电子看作封闭在金属中的自由电子气体,2) 电子是Fermi子，遵从Fermi分布,说明：常温下金属中的自由电子形成强简并的Fermi气体。,Cu: 8.9g/cm3; 原子量63； 每个Cu原子贡献一个电子,经典极限条件是什么？,新课：8.5金属中的自由电子气体,3.自由电子气体的理论分析,1) 根据费米分布，温度为T 时处在能量为 的一个量子态上的平均电子数为,根据泡利不相容原理，有：,新课：8.5金属中的自由电子气体,2)考虑到电子自旋在其动量方向的投影有两个可能 值，在体积V内，
7、在 - +d 的能量范围内，电 子的量子态数,3)在体积V内，在 - +d 的能量范围内的电子数,新课：8.5金属中的自由电子气体,4)对于N,V,T 的系统，电子的化学势由总粒子数守恒 决定,显然：化学势是温度和粒子数密度的函数,新课：8.5金属中的自由电子气体,一、近似条件和Fermi分布函数,二、低温极限（T=0K）下自由电子的性质,三、T0K时金属中自由电子的性质,四、关于模型的讨论,新课：8.5金属中的自由电子气体,二、低温极限（T=0K）下自由电子的性质,1. T=0K时自由电子的分布函数,这里， (0)= (T=0K),说明： Fermi能级 (0)= F,T=0K时， (0)的
8、每一量子态上平均电子数为零； (0)是0K时电子的最大能量。,新课：8.5金属中的自由电子气体,2. T=0K时Fermi能级F （ (0) ）的确定,新课：8.5金属中的自由电子气体,令 ，那么,Fermi动量：0K时电子具有的最大动量！,Fermi速率：,Fermi温度：,特例：Cu,新课：8.5金属中的自由电子气体,3. T=0K时电子的平均能量,4. T=0K时电子气体的压强,参习题7.1,新课：8.5金属中的自由电子气体,根据前面的数据，可得0K时电子气体的压强为3.81010帕。,这巨大的简并压在金属中被电子与离子的静电吸力所补偿。,这是一个极大的数值它是泡利不相容原理和电子气体具
9、有高密度的结果常称为电子气体的简并压.,新课：8.5金属中的自由电子气体,理想玻色气体在绝对零度下粒子全部处于能量、 动量为零的状态且压强为零；,两种气体在绝对零度下的微观状态虽然完全不同，却是完全确定的由玻耳兹曼关系Sk ln 知，两种气体在绝对零度下熵都为零，符合热力学第三定律的要求,费米气体在绝对零度下具有很高的平均能量、动量，并产生很大的压强!,5. 0K时电子气体与Bose气体的比较,新课：8.5金属中的自由电子气体,一、近似条件和Fermi分布函数,二、低温极限（T=0K）下自由电子的性质,三、T0K时金属中自由电子的性质,四、关于模型的讨论,新课：8.5金属中的自由电子气体,1.
10、 T0K 时自由电子的分布函数,实际上只在0 附近数量级为kT 的范围内， 电子的分布才与零K 时有显著差异.。,三、T0K时金属中自由电子的性质,随按指数规律变化。,新课：8.5金属中的自由电子气体,1)0K时电子占据了从0到(0)的每一个量子态。,费米气体的强简并条件另一表述：,2)温度升高，热激发，电子有可能跃迁到高能态。,3) 低能态跃迁到高能态，须吸收很大的热运动能量， 这是极小可能的,4) 仅在(0) 附近kT 量级范围内的占据情况发生改变.,新课：8.5金属中的自由电子气体,只有能量在附近、量级为kT的范围内的电子对热容量有贡献。,将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量
11、的贡献为 3k/2。,以N有效表示能量在附近kT范围内对热容量有 贡献的有效电子数：,2. T0K时电子气体热容量的估计,新课：8.5金属中的自由电子气体,能量均分定理：3k/2,讨论：在室温范围T/ TF-1/260. 金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论值与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计。,则金属中自由电子对热容量的贡献为：,新课：8.5金属中的自由电子气体,3. T0K时自由电子气体热容量的定量计算,内能U,在体积V内，在 - +d 的能量范围内的电子数,电子数N,上两式的计算可以归结为求解积分：,Fermi积分,新课：8.5金属中的自由电子气体,新课：8.5金属中
12、的自由电子气体,T0K时，自由电子气体热容量,将 代入并化简得：,求解费米积分得：,T0K时，自由电子气体热容量,与估算的结果仅 有系数的差异,根据系综理论,足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。,电子,离子振动,新课：8.5金属中的自由电子气体,Cu的实验结果：,新课：8.5金属中的自由电子气体,一、近似条件和Fermi分布函数,二、低温极限（T=0K）下自由电子的性质,三、T0K时金属中自由电子的性质,四、关于模型的讨论,新课：8.5金属中的自由电子气体,四、关于模型的讨论,1 .将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由 运动的近独立粒子。,我们知道，
13、由于离子在空间排列的周期性，离子在金属中产生一个周期性势场，实际上电子在这周期场中运动，离子的热振动对电子的运动也产生影响，电子之间又存在库仑相互作用，更深人地描述金属中电子的运动相当复杂。,新课：8.5金属中的自由电子气体,2 . 模型的合理性,将金属中的正离子用均匀的正电荷背景代替，以保持金属的电中性。由于每一电子都要排斥其它电子，在每一电子周围将出现等效的正电荷，对电子产生屏蔽作用，使电子间的库仑长程作用力变为短程的屏蔽作用力。因此可以将电子近似看作近独立粒子，遵从费米分布。,新课：8.5金属中的自由电子气体,以上因素可以解释实验和自由电子气模型的差异,这时所说的电子已经不是通常意义下的
14、“裸”电子，而是为正电荷云围绕的一种准粒子，称为准电子。,准电子与电子存在一一对应的关系。不过它的质量不再是裸电子的质量m 而是有效质量m*。周期场和离子振动对电子运动的影响也可以归结为改变电子的质量。,3 . 模型的进一步修正,新课：8.5金属中的自由电子气体,一、近似条件和Fermi分布函数,二、低温极限（T=0K）下自由电子的性质,三、T0K时金属中自由电子的性质,四、关于模型的讨论,8.5金属中的自由电子气体小结,T0K时，自由电子气体热容量,根据系综理论,足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。,电子,离子振动,例题 . 8.13：银的导电电子的数密度n=5.91028m-3。试求0 K时电子气体的费米能级、费米速率和简并压,解：,新课：8.5金属中的自由电子气体,24零K时N个自旋为1/2的费米子组成的二维理想气体的面积为A，试证明：1）状态密度为: 2）费米能级为:,证明：二维体系,动量在pp+dp范围内的量子态数为：,能量在+d范围内的量子态数为,（以上参习题6.3）,
