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1、第二章 静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。关于静电场的能量与力，应
2、总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。重要公式真空中静电场方程：积分形式：微分形式：已知电荷分布求解电场强度：1，；2，3，高斯定律介质中静电场方程：积分形式：微分形式：线性均匀各向同性介质中静电场方程：积分形式：微分形式：静电场边界条件：1，。对于两种各向同性的线性介质，则2，。在两种介质形成的边界上，则对于两种各向同性的线性介质，则3，介质与导体的边界条件：；若导体周围是各向同性的线性介质，则；静电场的能量：孤立带电体的能量：离散带电体的能量：分布电荷的能量：
3、静电场的能量密度：对于各向同性的线性介质，则电场力：库仑定律：常电荷系统：常电位系统：题 解2-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求的大小及位置。解 要使系统处于平衡状态，点电荷受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即。那么，由，同时考虑到，求得可见点电荷可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷相距。习题图2-2zxE3E2E12-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：试求位于点的电场强度。解 令分别为三个电电荷的位置到点的距离，则，。利用点电荷的场强公式，其中为点电荷q指向场点
4、的单位矢量。那么，在P点的场强大小为，方向为。在P点的场强大小为，方向为。在P点的场强大小为，方向为则点的合成电场强度为2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。解 令点电荷位于坐标原点，为点电荷至场点P的距离。再令点电荷位于+坐标轴上，为点电荷至场点P的距离。两个点电荷相距为，场点P的坐标为（r,f）。根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为考虑到r l，= er，那么上式变为式中以为变量，并将在零点作泰勒展开。由于，略去高阶项后，得利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为C，相距为2cm， 如习题图2-4所示。试求：P点的电位；将
5、电量为C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。1cmP1cmqq1cm习题图2-4解 根据叠加原理，点的合成电位为因此，将电量为的点电荷由无限远处缓慢地移到点，外力必须做的功为2-5 通过电位计算有限长线电荷的电场强度。习题图2-5r0Pzodllq1q2y解 建立圆柱坐标系。 令先电荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。设线电荷的长度为，密度为，线电荷的中点位于坐标原点，场点的坐标为。利用电位叠加原理，求得场点的电位为式中。故因，可知电场强度的z分量为电场强度的r分量为式中，那么，合成电强为当L时，则合成电场强度为可见，这些结果与教材2
6、-2节例4完全相同。2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度，试求圆心处的电场强度。习题图2-6ayxoE解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的分量，即考虑到，代入上式求得合成电场强度为2-7 已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。习题图2-7xyzProadly解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷在z轴上点产生的电位为根据叠加原理，圆环线电荷在点产生
7、的合成电位为因电场强度，则圆环线电荷在点产生的电场强度为2-8 设宽度为W，面密度为的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。习题图2-8xyzoryxdxx(a)(b)P(x,y)解 建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为的无限长线电荷，其线密度为。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即式中得那么2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度为，位于z = 0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度。习题图2-9oxyzrdrP(0,0,z)解 如图 2-9所示，在圆盘上取一半径为，宽度为的圆环，该圆环
8、具有的电荷量为。由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的有分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的电场强度的分量为那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为2-10 已知电荷密度为及的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求及区域中的电场强度。解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷，在x 0区域中产生的电场强度。位于x = 1平面内的无限大面电荷，在x 1区域中产生的电场强度。由电场强度法向边界条件获知，即由此求得根据叠加定理，各区域中的电场强度应为2-11 若在球
9、坐标系中，电荷分布函数为试求及区域中的电通密度。解 作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知式中q为闭合面S包围的电荷。那么在区域中，由于q = 0，因此D = 0。在区域中，闭合面S包围的电荷量为因此，在区域中，闭合面S包围的电荷量为因此，2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为试求球内外各点的电位。解 在区域中，电位为在区域中，2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为试求空间的电荷密度。解 利用高斯定理的微分形式，得知在球坐标系中那么，在区域中电荷密度为在区域中电荷密度为2-14 已知真空中的电荷分布函数为式中r为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。解 由于电荷分布具有球对称
10、性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理在区域中在区域中2-15 已知空间电场强度，试求（0,0,0）与（1,1,2）两点间的电位差。解设P1点的坐标为（0,0,0,）, P2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为式中，因此电位差为2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电常数。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导体半径之比。解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为q1，则同轴线内电场强度。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电位差V不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面处的电场强度达到最
11、小值。因为同轴线单位长度内的电容为则同轴线内导体表面处电场强度为令b不变，以比值为变量，对上式求极值，获知当比值时，取得最小值，即同轴线获得最高耐压。2-17 若在一个电荷密度为，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。习题图2-17obaPrdro解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为的整个球内充满电荷密度为的电荷，则球内点的电场强度为式中是由球心o点指向点的位置矢量， 再设半径为的球腔内充满电荷密度为的电荷，则其在球内点的电场强度为式中是由腔心点指向点的位置矢量。那么，合成电场强度即是原先空腔内任一点的电场强度，
12、即式中是由球心o点指向腔心点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。2-18 已知介质圆柱体的半径为a，长度为l，当沿轴线方向发生均匀极化时，极化强度为，试求介质中束缚xyza习题图2-18Ply电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。解 建立圆柱坐标，且令圆柱的下端面位于xy平面。由于是均匀极化，故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度的关系为式中en为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为，圆柱体下端面的束缚面电荷密度为。由习题2-9获知，位于xy平面，面电荷为的圆盘在其轴线上的电场强度为因此，圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生
13、的电场强度为而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为那么，上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生的合成电场强度为2-19 已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：介质壳内外表面上的束缚电荷；各区域中的电场强度。解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为再求介质壳内外表面上的束缚电荷。由于，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为外表面上束缚电荷面密度为2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场的方向与介质板法线的夹角为，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向时，试求角度及介质表面的束缚电荷面密度。Eedq1q 1q2q2e0e0E习题图2-20E2en2en1解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得；
