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1、学 海 无 涯 第二部分 题型研究 题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型,针对演练 1. (2013 杭州)已知抛物线 y ax2bxc(a0)与 x 轴相交于点 A、B(点 A、B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C， 1,4,3,且点 A、C 在一次函数 y2 xn 的图象上，线段 AB 长为 16，线段 OC 长为 8，当 y1 随着 x 的增大而减小时，求自变量 x,的取值范围 2. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22mx2(m0)与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B. (1)求点 A，B 的坐标； 若抛物线在2x3 的区间上的最小
2、值为3，求 m 的值； 设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在2x1 这一段位于直线l 的上方，在 2x 3 这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式,第 2 题图 3. 已知二次函数 ykx2(3k2)x2k2. 若二次函数图象经过直线 yx1 与 x 轴的交点，求此时抛物线的解析式； 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数图象上的两个点，若满足 x1x23，试比较 y1 和 y2 的大小关系 4. (2012 杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk(x2x1)的图象交于点 A(1，k)和点 B(1， k) 当 k2 时，求反比例函数的解
3、析式； 要使反比例函数与二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；,1,学 海 无 涯 (3)设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值 考向 2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18) 针对演练 1. (2012 杭州)当 k 分别取1，1，2 时，函数 y(k1)x24x5k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理 由，若有，请求出最大值 2. (2015 杭州)设函数 y(x1)(k1)x(k3)(k 是常数) (1)当 k 取 1 和 2 时的函数 y1 和 y2
4、的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当 k 取 0 时函数的图象； (2)根据图象，写出你发现的一条结论； (3)将函数 y2 的图象向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到函数y3 的图象，求函数 y3 的最小值,第 2 题图 3. (2011 杭州)设函数 ykx2(2k1)x1(k 为实数) (1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象； (2)根据所画图象，猜想出：对任意实数 k，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负实数 k，当 xm 时，y 随着 x 的增大而增大，试求出 m 的一个值 4. 已
5、知函数 y(k1)x2xk2(k 为常数) 求证：不论 k 为何值，该函数的图象与 x 轴总有交点； 当 k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与 x 轴的另一个交点； 试问该函数是否存在最小值3？若存在，求出此时的 k 值；若不存在，请说明理由 5. 已知关于 x 的函数 ykx2(2k1)x2(k 为常数) 试说明：无论 k 取什么值，此函数图象一定经过(2，0)； 在 x0 时，若要使 y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围； (3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移 2 个单位后，平移前后图象、对称轴和 y 轴围成的图形面积为 4，,2,学 海 无 涯,求此时 k 的
6、值 6. 关于 x 的函数 y2kx2(1k)x1k(k 是实数)，探索发现了以下四条结论： 函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；,18,33,当 k3 时，函数图象的顶点坐标是( ， )；,3,2,当 k0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 ；,当 k0 时，函数图象总经过两个定点 请你判断四条结论的真假，并说明理由 答案,4,3,1. 解：点 C 在一次函数 y2 xn 的图象上，线段 OC 长为 8，n8，,4,3,当 n8 时，一次函数为 y2 x8，当 y0 时，x6，求得点 A 的坐标为 A(6，0)，,2 抛物线 y1ax bxc (a0)与 x 轴相交于点 A，B(点
7、A，B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C，且线段 AB 长为 16， 这时抛物线开口向下，B(10，0)； 如解图所示，抛物线的对称轴是 x2， 由图象可知：当 y1 随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x2；,第 1 题解图,4,3,当 n8 时，一次函数为 y2 x8，当 y0 时，x6，求得点 A 的坐标为(6，0)，,3,2 抛物线 y1ax bxc(a0)与 x 轴相交于点 A，B(点 A，B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C，且线段 AB 长为 16，,学 海 无 涯 这时抛物线开口向上，B(10，0)， 如解图所示，抛物线的对称轴是 x 2，由
8、图象可知：当 y1 随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x 2；,第 1 题解图 综合以上两种情况可得：当 y1 随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x2 或 x2. 2. 解：(1)当 x0 时，y2， A(0，2)，,2m,抛物线的对称轴为直线 x 2m 1，,B(1，0)； (2)易知抛物线 ymx22mx2 的对称轴为 x1， 当 m0 时，抛物线开口向上， 2x3，y 最小值在 x1 处取得，y 最小值m2， m23，m1， 当 m0 时，抛物线开口向下，,1,8,y 最小值在 x2 处取得，即 8m23，m .,1,8,故 m 的值为 1 或 .,4
9、,则,(3)易得 A 点关于对称轴直线 x1 的对称点 A(2，2)， 则直线 l 经过 A、B， 设直线 l 的解析式为 ykxb(k0)， 2kb2,kb0,，,学 海 无 涯,解得,k2,，,b2 直线 l 的解析式为 y2x2； 抛物线的对称轴为直线 x1， 抛物线在 2x3 这一段与在1x0 这一段关于对称轴对称， 则抛物线在2x1 这一段位于直线 l 的上方，在1x0 这一段位于直线l 的下方， 抛物线与直线 l 的交点的横坐标为1， 当 x1 时，y2(1)24， 抛物线过点(1，4)， 当 x1 时，m2m24， 解得 m2， 抛物线的解析式为 y2x24x2. 3. 解：(1
10、)直线 yx1 与 x 轴的交点为(1，0)，ykx2(3k2)x2k 2 经过点(1，0)， 0k3k22k2，,2,3,6k40，即 k .,2,22,33,抛物线的解析式为 y x .,5,(2)点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是二次函数图象上两个点，,2,2,1222,y1kx1(3k2)x 2k2，y kx (3k2)x 2k2，,2,1211,2,22,两式相减，得 y y kx (3k2)x 2k2kx (3k2)x 2k2,k(x1x2)(x1x2)(3k2)(x1x2) 3k(x1x2)(3k2)(x1x2) 2(x1x2)， 当 x1x2 时，y1y2； 当 x1x2
11、 时，y1y2； 当 x1x2 时，y1y2；,学 海 无 涯 4. 解：(1)点 A(1，k)在反比例函数图象上，,k,x,设反比例函数为 y ，,2,x,k2，y ；,(2)要使得反比例函数是 y 随着 x 的增大而增大， k0.,而对于二次函数 ykx2kxk，其对称轴为 x,1,2, ，,要使二次函数满足上述条件，在 k0 的情况下， 则 x 必须在对称轴的左边，,1,2,即 x 时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大；,1,2,综上所述，则 k0，且 x 时，反比例函数与二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大；,15,24,(3)由(2)可得 Q( ， k)；,第 4 题解图,A
12、 点与 B 点关于原点对称， 原点 O 平分 AB. 又直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半， OQOAOB.,作 ADOC，QCOC，OQ CQ2OC2,25 21,164,k .,6,学 海 无 涯,而 OA AD2OD2 1k2，,416,125 2,2,k 1k ，,2 32 3 则 k 3 或 k 3 .,考向 2 函数类型不确定型,针对演练 1. 解： k 只有取1 时，才有最大值， 当 k1，函数为 y4x4，是一次函数，一次函数无最值， 当 k2，函数为 yx24x3，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值； 当 k1，函数为 y2x24x6，为二次函数，此函数开口向下，有最
13、大值，变形为 y2(x1)28，则当 x1 时，ymax8. 2. 解：(1)当 k0 时，y(x1)(x3)x22x3(x1)24， 则此函数为二次函数，它的图象与 x 轴交于点(1，0)、(3，0)，与 y 轴的交点为(0，3)，顶点为(1，4)， 利用描点法所画函数的图象如解图：,第 2 题解图 (2)图象都经过点(1，0)和点(1，4)； 图象总交 x 轴于点(1，0)； k 取 0 和 2 时的函数图象关于点(0，2)中心对称；(答案不唯一，写出一条即可) (3)k2 时，函数 y (x1)2， 2 此函数图象的顶点坐标为(1，0)，向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位， 得
14、到函数 y 图象的顶点坐标为(3，2)，则 y (x3)22， 33 当 x3 时，函数的最小值等于2.,7,学 海 无 涯 3. 解：(1)如两个函数为 yx1，yx23x1， 画出函数图象如解图，,第 3 题解图 (2)不论 k 取何值，函数 ykx2(2k1)x1 的图象必过定点(0，1)，(2，1)，且与 x 轴至少有1 个交点. 证明如下： 由 ykx 2(2k1)x1，得 k(x22x)(xy1)0. 当 x22x0 且 xy10，即 x0，y1 或 x2，y1 时，上式对任意实数k 都成立，所以函数的图象必 过定点(0，1)，(2，1) 又因为当 k0 时，函数 yx1 的图象与
15、 x 轴有一个交点； 当 k0 时，(2k1)24k4k210，所以函数图象与 x 轴有两个交点 所以函数 ykx2(2k1)x1 的图象与 x 轴至少有 1 个交点. (3)只要写出 m1 的数都可以. k0，,函数 ykx2(2k1)x1 的图象在对称轴 x,2k1,2k,的左侧时，,y 随 x 的增大而增大.,4. (1)证明：若 k1 时，函数为一次函数，与 x 轴有交点， 若 k1 时，函数为二次函数 y(k1)x2xk2 14(k1)(2k)(2k3)20， 不论 k 为何值，该函数的图象与 x 轴总有交点； (2)解：函数 y(k1) x2xk2 过原点， k20， k2， yx
16、2x， 令 yx2x0，,8,学 海 无 涯,解得 x0 或 x1， 函数图象与 x 轴的另一个交点为(1，0)； (3)解：k10 即 k1 时，函数 yx1 为一次函数，无最小值,当 k10 即 k1 时函数有最小值，且最小值在函数顶点处取得即,4（k1）（2k）1,4（k1）,3，,15,解得 k3 2 ，均符合题意,15,故此时 k 的值为 3 2 .,5. 解：(1)将 x2 代入，得 yk(2)2(2k1)(2)20， 故不论 k 取何值，此函数图象一定经过点(2，0). (2)若 k0，此函数为一次函数 yx2， 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， k0 符合题意 若 k0，此函数为二次函数，而图象一定经过(2，0)、(0，2)， 要使当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，开口向下，需满足 k0 即可 综上，k 的取值范围是 k0. 2k1 (3)由题意可知 2| 2k |4.,1,2,1,6,解得 k 或 k .,
