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1、第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 第1课时数列的概念与简单表示法,1. “一尺之棰,日取其半,万世不竭.”的含义是什么？,1.了解数列的概念及其简单表示和数列的分类，认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 2.了解数列是一种特殊的函数，了解数列与函数的关系. 3.能根据数列的前几项，写出它的一个通项公式.,看书要点： 1、数列定义的关键词是什么？ 2、数列与函数有什么关系？ 3、数列的分类是什么？,（2）三角形数：1，3，6，10，,探究点1 数列的概念,（5）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，,（3）正方形数：1，4，9，16，,（4）1，2，3，4，的倒数排列成的一列数,提
2、示：1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序,思考：观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：数列定义中的关键词是什么？若打乱顺序从新排列是否还是数列？这个数列和原来的数列相同吗？ 问题2：数列中an和an是否相同？,【探究总结】对数列概念的三点说明 (1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数an，而项数是指这个数在数列中的位置序号. (2)同一个数在数列中可以重复出现. (3)两个数列相同，需要各项相同且排列顺序相同.,3. 数列的一般记法:,思考：数列an是集合吗？ an与an有何区别？,集合中的元素具有无序性 、互异性，而数列不具备这些特征，数列an
3、不是集合,它是数列的一个整体符号.an表示数列a1, a2, a3, a4, an,，而an表示数列的第n项.,提示:,(2)数列中的数可以重复吗？,(3)数列与集合有什么区别？,可以,数列讲究：有序性、可重复性、确定性.,集合讲究：无序性、互异性、确定性；,提示:,【拓展延伸】数列与数集的区别与联系 (1)区别：数列主要研究项与项数之间的关系，数集主要研究集合中元素公共的性质. 数集中元素有三个性质：确定性、无序性和互异性；数列中的项也有三个性质：确定性、可重复性和有序性. (2)联系：数列中的项与数集中的元素都是数，都体现对数之间关系的研究.,思考：数列是数集吗？,1.数列的概念及一般形式
4、 (1)相关概念 数列：按照_排列的一列数称为数列. 项：数列中的_叫做这个数列的项，排在_ 的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项). (2)一般形式 数列的一般形式可以写成_，简记为_.,一定顺序,每一个数,第一位,a1，a2，a3，an,an,4. 数列的分类:,(1)按项数分：有穷数列与无穷数列；,(2)按项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.,有穷数列,递增数列,无穷数列,递减数列,有穷数列,递增数列,无穷数列,无穷数列,摆动数列,常数列,观察下列几组数列，请指出以下各数列各属于哪一种类型？ 递增数列、递减数列、常数列、摆动数列， 1，2，3，n 1，2，3，n
5、， 2，2，2， 1， ， ， ， 6，-6，6，-6，,提示：是递增数列，是常数列，是递减数列，是摆动数列.,2.数列的分类,有限,无限,大于,小于,相等,大于,（1）2，4， ，16,32， ，128 （2） ，4,9,16,25， ，49,观察下面数列的特点，用适当的数填空：,8,64,1,36,【即时练习】,探究2：数列的通项公式 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题3：在上面的数列中，你能表示项an与项的序号n之间的关系吗？ 问题4：任何数列都有通项公式吗？,（1）你能说出256是否是下面数列中的项吗？是的话,是这个数列的第几项?,（2）同学们观察数列中的项与序号之间的关系,你能从
6、中得到什么启示?你能否写出它的第n项?,项:,序号:,探究点2 数列中的项与序号之间的关系,是第9项,256是数列中的一项，,1 2 3 4 ， 9,（3) 你能把上述数列按照（n, an)的形式画在下面的坐标系中吗?,2,4,8,16,32,64,n,an,图象是一些离散的点,【总结提升】对数列的通项公式的四点说明 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集为定义域的函数表达式，即an=f(n). (2)已知数列的通项公式，依次用1，2，3去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项.,(3)同函数的关系式一样，并不
7、是所有的数列都有通项公式.如精确到1，0.1，0.01，的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示. (4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如摆动数列：-1，1，-1，1，-1，1，通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成an=,3.数列的通项公式 如果数列an的第n项与_之间的关系可以用_ 来表示，那么这个_叫做这个数列的通项公式. 4.数列的表示法 数列的表示法有三种，分别是_法、_法、_法.,序号n,一个式子,公式,列表,图象,解析,1.已知数列1， ，则 是它的() A.第22项B.第23项 C.第24项D.第28项 【解析】选B.因为 ，令2n-1=45，得n=23， 故
8、 是它的第23项.,2.数列的通项公式为an= 则a2a3等于() A.70B.28C.20D.8 【解析】选C.因为a2=22-2=2，a3=33+1=10， 所以a2a3=20.,3.数列1， ， ， ，的通项公式是. 【解析】数列的通项公式是an= . 答案：an=,本节课学习的主要内容有：,1.数列的有关概念；,2.数列的通项公式；,3.数列的实质；,4.本节课的能力要求是：,(1) 会由通项公式求数列的任一项；,(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式.,5.数列的分类,数 列 的 分 类,从单调性 的角度,从项数 的角度,递增数列,递减数列,常数列,摆动数列,有穷数列,无穷数
9、列,从第2项起项与项的大小关系不确定,项数有限,项数无限,4.数列在平面直角坐标系中的图象是. 【解析】数列在平面直角坐标系中的图象是一群孤立的点. 答案：一群孤立的点,5.数列an的通项公式是an=n(n+1)，则这个数列的第6项是. 【解析】这个数列的第6项是a6=6(6+1)=42. 答案：42,探究1：这五个数列，按项的个数来分，可以把数列分为几类？ 提示：从项数的多少可以把数列分为两类：有穷数列如和无穷数列如. 探究2：按项的大小可以把数列分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列，请指出以上各数列各属于哪一种类型？ 提示：是递增数列，是常数列，是递减数列，是摆动数列.,【探究总结】数
10、列分类的关注点 (1)注意数列是按照不同的分类标准分成不同类别，一个数列可以是递增数列且是无穷数列. (2)按照项的大小关系分类也可以看成数列的增减性.,三、数列的通项公式及其与函数的关系 探究1：观察如图的对应关系，思考an和n之间是否构成一个映射关系，是否构成一个函数关系？,提示：根据映射和函数的概念，an和n之间构成一个映射，也构成一个函数关系，并且构成了从N*到f(n)|nN*的特殊映射和函数.,探究2：根据所给的几个数列的通项公式，探究下列问题： an=n，an=(-1)n，an= (1)是否所有的数列都有通项公式，并且一个数列只有一个通项公式？ 提示：并不是所有的数列都有通项公式，
11、一个数列的通项公式形式上不一定是唯一的，如和表示的是同一个数列.,(2)通项公式an=f(n)的作用是什么？ 提示：通项公式an=f(n)中n代表项数，an代表项，因此，通过数列的通项公式能够知道数列中的指定项，同时也知道任意一项在该数列中的准确位置.,【探究总结】1.数列的函数性质的关注点 (1)数列的定义域为N*或者它的有限子集1，2，3，n. (2)数列的值域是一些孤立的实数组成的集合. (3)数列的对应关系一般是其通项公式.,2.数列与函数的关系 (1)数列作为特殊的函数，它具有函数的通性，定义域、值域、对应关系. (2)数列是特殊的函数，其定义域是N*或者它的有限子集1，2，3，n，
12、故数列对应的图象是一列孤立的点. (3)数列的单调性和函数的单调性一致，可以用函数的单调性来研究数列的单调性.,类型一数列的概念及其分类 1.分别写出下列数列： (1)不大于10的自然数按从小到大的顺序组成的数列为. (2)-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂构成的数列为.,2.下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由. (1)-3，-1，1，x，5，7，y，11. (2)无理数. (3)正有理数.,【解题指南】1.按照要求的次序写出各个数即可. 2.根据数列的定义判断每组元素能否构成数列.然后再根据数列的项数的个数来判断是否是有穷数列.,【自主解答】1
13、.(1)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10. (2)-2，22，-23，24，. 答案：(1)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 (2)-2，22，-23，24，,2.(1)当x，y代表数时为数列，此时是有穷数列；当x，y中有 一个不是数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数， 按一定的顺序排列所组成的. (2)不是数列，因为我们无法把所有的无理数按一定顺序排列 起来. (3)是数列，且是无穷数列.如我们可将有理数按下面顺序排列 起来：,【规律总结】处理数列概念问题的注意点 (1)注意数列中的顺序性，不同的顺序的数排成一列，构成不同的数列，故书写数列时注意数的顺序. (
14、2)数列的分类是依据不同的标准，同一个数列可能既是无穷数列又是递增数列.,【变式训练】写出下列数列： (1)全体自然数按从小到大排成一列. (2)正整数1，2，3，4，5的倒数排成一列. (3)精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排成一列.,【解析】(1)0，1，2，3，. (2)1， (3)3，3.1，3.14，3.141，.,类型二数列与函数问题 1.已知数列an的通项公式an=2n- ，则此数列为() A.递增数列B.递减数列 C.摆动数列D.常数列 2.已知函数f(x)= 设an=f(n)(nN*). (1)求证：an1. (2)an是递增数列还是递减数列？为什么？,【
15、解题指南】1.根据an+1-an的值判断. 2.(1)根据an=f(n)(nN*)证明. (2)利用an+1-an与0的大小判断.,【自主解答】1.选A.由an=2n- ，可得an+1-an=2，故此数列 为递增数列. 2.(1)因为an=f(n)= 又nN*， 所以 0，即- 0，即an+1an，所以an是递增数列.,【延伸探究】题2条件不变，写出数列an的前4项. 【解析】由 得,【规律总结】函数的性质在数列中的应用 (1)数列是特殊的函数，数列的项数和项类似于函数的定义域和值域中的元素，通项公式类似于函数解析式. (2)可以利用研究函数的方法研究数列的相关性质，如单调性，但要注意数列中定
16、义域为从1开始的无穷多正整数集或其一部分组成的集合.,【拓展延伸】函数法研究数列的单调性 (1)定义法，先设出数列对应的函数，然后可以利用证明函数 单调性的定义法判断数列的单调性. (2)作差法，对an+1-an进行符号判断，若恒大于零，则是递增 数列，恒小于零是递减数列. (3)作商法，即判断 与1的大小关系，类似于研究函数的 单调性问题.,类型三数列的通项公式 1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，- ， ，- 的通项为. (2)2，0，2，0的通项为. (3)1，3，5，7的通项为. (4) 的通项为.,2.根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项和第2013项. (1)an=cos . (2)an=3n+2n.,【解题指南】1.(1)正负相间，去掉符号后是正整数的倒数. (2)可借助于正弦值的特点来
