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1、第三讲 逻辑联结词与四种命题充要条件,回归课本 1.逻辑联结词 (1)可以判断真假的语句叫命题不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题 (2)逻辑联结词 或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题均成立 非：对一个命题的否定,(3)真值表：表示命题真假的表叫真值表 复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定：,2.四种命题 (1)四种命题 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定于是四种命题的形式为：,(2)四种命题的关系 若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性，若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性
2、没有关系 3反证法 欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非Q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非Q”为假，即原命题为真，这样的方法称为反证法,考点陪练 1.已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么以下命题中真命题的个数为() M的元素都不是P的元素； M中有不属于P的元素； M中有P的元素； M的元素不都是P的元素 A1 B2 C3 D4,解析：由命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，可得非空集合M的元素不都是集合P的元素，故、正确，、错误 答案：B,2原命题：“设a、b、cR，若ac2bc2，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有() A0
3、个 B1个 C2个 D3个 解析：由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确，故选B. 答案：B,3(2011重庆十二校一检)如果命题“非p或非q”是假命题，则下列各结论中正确的是() 命题“p且q”是真命题 命题“p且q”是假命题 命题“p或q”是真命题 命题“p或q”是假命题 A B C D,解析：命题“非p或非q”是假命题，则“非p”与“非q”都是假命题，命题p与命题q都是真命题，因此“p且q”是真命题，命题“p或q”是真命题 答案：A,4若非空集合A，B，C满足ABC，且B不是A的子集，则 () A“xC”是“xA”的充分不必要条件 B“xC”是“xA”的必要不
4、充分条件 C“xC”是“xA”的充要条件 D“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件 解析：由ABC，且B不是A的子集，知AC，故xAxC，而xC/ xA.故选B. 答案：B,解析：p：x1或x1；q：x1或x1，pq. 因此q是p的必要不充分条件 答案：B,类型一复合命题真假的判断 解题准备：判断一个命题的真假时常用以下方法： 1依据定义直接判定； 2利用原命题与其逆否命题的真假等价关系； 3利用集合的观点去解决，即建立命题p，q相应的集合，p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立 当AB时，则“若p则q为真”； 当BA时，则“若q则p为真”,点评三种形式的复合命题的真
5、假往往不直接判断，而是借助构成它们的简单命题的真假来判断，判断时需借助真值表的相关结论,类型二四种命题之间的关系 解题准备：由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真同假，所以一个命题的逆命题和它的否命题同真同假；一个命题与它的逆否命题同真同假当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断,【典例2】判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假 (1)若ab0，则a0或b0. (2)若ab，则ac2bc2. (3)若在二次函数yax2bxc中b24ac0，则该二次函数图象与x轴有公共点,解析先判断各个命题的真假，再由四种命题的定义写出其他三种
6、命题，判断真假 (1)该命题为真 逆命题：若a0或b0，则ab0.为假 否命题：若ab0，则a0，b0.为假 逆否命题：若a0，b0，则ab0.为真 (2)该命题为假 逆命题：若ac2bc2，则ab.为真 否命题：若ab，则ac2bc2.为真 逆否命题：若ac2bc2，则ab.为假,(3)该命题为假 逆命题：若二次函数yax2bxc的图象与x轴有公共点，则b24ac0.为假 否命题：若二次函数yax2bxc中b24ac0，则该二次函数图象与x轴没有公共点为假 逆否命题：若二次函数yax2bxc的图象与x轴没有公共点，则b24ac0.为假 点评根据四种命题的定义，分别写出各种命题，然后再进行判断
7、，特别是否命题的真假，可以从逆命题的真假来判断四种命题之间的等价关系，经常应用在真假性的判断上,类型三反证法在证明题中的应用 解题准备：反证法是一种常用的数学方法，属于一种间接证法高考中证明问题的正面思考有困难时常考虑此方法当待证命题中出现“不可能”、“一定”、“至多”、“唯一”等词语时，多运用反证法,【典例3】a，b，c为实数，且abc1，证明：两个一元二次方程x2xb0，x2axc0中至少有一个方程有两个不相等的实数根 分析本题若直接分析要分两种情况讨论，要证明两次，过程比较繁琐，可以从结论的对立面分析，即两个方程都没有两个不等的实数根，用反证法进行证明,证明假设两个方程都没有两个不等的实
8、数根，则 114b0，2a24c0，1214ba24c0.abc1，bca1.14(a1)a20，即a24a50.但是a24a5(a2)210，故矛盾 所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根 点评反证法可应用于数学证明的各个方面，只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以本题是方程的根的分布问题，所以要考虑方程的判别式 在假设时，应该设问题的直接对立面，所以是两个方程都没有不等的实数根，再从判别式的特点入手，推出矛盾,类型四充要条件的判断与探求 解题准备：证明和判断充要条件的基本思路和方法： 充要条件的证明应首先分清充分条件与必要条件，即明
9、确推出符号“”的推理方向，从而确立已知和结论，其次结合已知条件逐步进行论证,【典例4】求关于x的方程x2mx3m20的两根均大于1的充要条件,探究：求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是m2. 证明：(1)充分性：因为m2，所以m240， 方程x2mx10有实根 设x2mx10的两个实根为x1、x2， 由根与系数的关系知x1x210. 所以x1、x2同号 又因为x1x2m2， 所以x1、x2同为负根,快速解题 技法有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛，组委会只设一名特别奖赛前观众A猜：不是1号就是2号能获特别奖；B猜：3号不可能获特别奖；C猜：4、5、6号都不可能获特别奖；D猜；能获特别奖的是4、5、6号中的一个，赛后结果表明，四人中只有一人猜对了问：谁猜对了？几号歌手获特别奖？,快解：将所猜能获奖的记为，不能获奖的记为，由题意得下表： 从表中可以看出，所猜3号的结果只有一人猜对，是C猜对的，3号歌手获得了特别奖,
