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1、学 海 无 涯 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现 大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为 过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用 数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求 其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因 此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的,1,定理 9.1（Cauchy 收敛原理）f(x)在a, + ）上的广义积分af (x)dx 收敛的充分必要条件是： 0, 存在 A0, 使得 b, bA 时，恒有,b/,b,证明：对 l
2、im, b,| bf (x)dx | f (x)dx 0 使用柯西收敛原理立即得此结论,b,a,同样对瑕积分f (x)dx ( b 为瑕点), 我们有,定理 9.2（瑕积分的 Cauchy 收敛原理）设函数 f(x)在a,b)上有定义，,b,a,在其任何闭子区间a, b 上常义可积，则瑕积分f (x)dx 收敛的,充要条件是: 0, 0, 只要 0 / ，就有,b /,| b,f (x)dx | ,定义9.5 如果广义积分a | f (x) | dx 收敛，我们称广义积分a f (x)dx 绝对收敛（也称 f(x)在a,+ ) 上绝对可积; 如a f (x)dx 收敛而非绝 对收敛，则称a f
3、 (x)dx 条件收敛，也称 f(x)在a,+ ) 上条件可积 由于A, A/ a ，均有,2,学 海 无 涯 A/A/ | Af (x)dx | A | f (x) | dx 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理 定理 9.3 如果广义积分af (x)dx 绝对收敛，则广义积分af (x)dx 必 收敛 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性 质 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法 比较判别法： 定理9.4 （ 无 限 区 间 上 的 广 义 积 分 ） 设 在 a,+ ) 上恒有 0
4、f (x) k(x), （k 为正常数）,则当(x)dx 收敛时,aa,f (x)dx 也收敛;, 当af (x)dx 发散时, a(x)dx 也发散 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立 对瑕积分有类似的结论判别法 定理 9.5 设 f(x), g(x) 均为a,b)上的非负函数，b 为两个函数的奇点， 如存在一个正常数k, 使 0 f (x) kg (x), x a, b), 则,1）如,b a,g(x)dx 收敛，则,b a,f (a)dx,也收敛。,2）如,b,a,b,a,f (x)dx 发散，则g(x)dx 也发散,比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式,学 海 无
5、涯,定理9.6 如果f(x),g(x)是a,+ ) 上的非负函数, 且 lim,f (x) l,x g(x),则,(1) 如果0 l , 且a,(2) 如果0 l , 且a,g(x)dx 收敛, 则积分af (x)dx 也收敛 g(x)dx 发散，则积分af (x)dx 也发散,x g(x),证明：如果lim f (x) l 0, 则对于 0(l 0), 存在 A,g(x),当 x A时,0 l f (x) l ,即 (l )g(x) f (x) (l )g(x) 成 立 .显 然,a,f (x)dx 与,a,g(x)dx 同时收敛或同时发散，在 l=0 或 l= 时，可类似地讨论.,使用同样
6、的方法，我们有,定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分,b a,b,a,f (x)dx 与g(x)dx 如果,f(x),g (x) 是非负函数，且 lim,3,f (x) l,xb g(x),则,（,b,a,b,a,1）当0 l , 且g(x)dx 收敛时，则f (x)dx 也收敛,（2）当,0 l ，且,bb a,a,g(x)dx 发散时，则f (x)dx 也发散,对无限区间上的广义积分中，取,a,x p,1,dx 作比较标准，则得到下列,Cauchy 判别法：设 f(x)是a,+ ) 的函数，在其任意闭区间上可积,那么:,x p,定理 9.8 若 0 f(x) c ， p1, 那么积分
7、,a,f (x)dx 收敛，如,(x),x p,c,f，,p 1,则积分,a,f (x)dx 发散,其极限形式为,x,定理 9.9 如 lim x p f (x) l,( 0 l , p1), 则积分,a,f (x)dx 收,学 海 无 涯 敛,b,如lim x p f (x) l , 而0 l ,p 1, 则,a,f (x)dx,发散. 例 9.8 判断下列广义积分的收敛性。,(1),1,1 1,ln(1 ) ,dx,x1 x ,(2) 1,1 xn dx,xm,(m0,n0),x1 x,1,解：（1）因为 0 ln(1 1) ,x1 x,1, 1 ,x2,1 1,x(1 x),由,1,1
8、x2,dx收敛推出,1,1 1,ln(1 ) ,x1 x ,dx 收敛,x,nm,1 x,xm,（ 2 ）因为 limx,n 1,所以当 n m1 时， 积分,1,4,xmxm,1 xn dx 收敛. 当 nm 1 时，积分11 xn dx 发散,a (x a) p,b 1 对于瑕积分，使用dx 作为比较标准，我们有下列柯西判别,法 定理 9.10 设 x=a 是 f(x)在a,b ) 上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么,(x a) p,(c0),p1,b,a,（1）如 0 f(x) c则f (x)dx 收敛,（2）,如 f(x) c,(x a) p,(c0), p1,b,a,则f (x
9、)dx 发散,瑕积分的 Cauchy 判断法的极限形式为,xa,学 海 无 涯 定理 9.11设 lim (x a) p f (x) k,如 0 k ,p1,b,a,则f (x)dx 收敛,b,a,如 0k , p 1,那么f (x)dx 发散,例 9.9 判别下列瑕积分的敛散性。,(1),0,1 dx,(k21),(2),2,0,(1 x2 )(1 k 2 x2 ) dx,sin p x cosq x,(p,q0),解：（1）1 是被积函数的唯一瑕点,x1,1,dx,(1 x2 )(1 k 2 x2 ),因为 lim (1 x) 2,=, ,1,2(1 k 2 ),2,由 p 1 知瑕积分收
10、敛,先讨论,4,0,（2）0 与都是被积函数的瑕点 2 ,dx,pq,x0,1, 1, 由 lim x,sin p x cosq x,p,知:当 p1 时, 瑕积分,4,0,sinx cos x ,dx,sin p x cosq x,收敛; 当 p 1 时,瑕积分,4,0,sinx cos x,dx,q,p,发散,再讨论,4, 2,dx,sin p x cosq x, 2,x,1,5,2, 1,sin p x cosq x,因 lim ( x) p,学 海 无 涯,所以当 q1 时,瑕积分,4, 2,dx,sin p x cosq x,收敛，,当q 1 时，瑕积分,4, 2,dx,sin p
11、x cosq x,发散,综上所述，当 p1 且 q1 时, 瑕积分,2,0,dx,sin p x cosq x,收敛; 其他情况,发散,例 9.10 求证,1,0,: 若瑕积分f (x)dx收敛，且当x 0 时函数 f,(x),单调趋,向于+ ，则 lim x f(x)=0.,x0 证明：不妨设x (0,1 ,f(x) 0, 且 f(x)在(0, 1)上单调减少。,已知,1 0,f (x)dx,收敛，由柯西收敛准则，有, 0, 0( 1), 0 x 有,2,x,x,f (t)dt ,从而,0,x 2,x,x,2,f (x) f (t)dt ,x0,或 0x f(x) 2 即 lim x f(x
12、)=0.,1 11 例 9.11 求证瑕积分0 x(1 cos x) dx ( 0), 当 3 时收敛,3,6,当 1 时发散.,学 海 无 涯,证明: lim,x3,x0 x(1 cos x), = lim,x0,x2,1 cos x ,x3 ,x3,= lim,1, 2,x2,x0 1 cos x ,所以当 3 1 时，即 1 时，瑕积分收敛当 3 1，即 1 时， 33 瑕积分发散 前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反 常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果 定理 9.12（积分第二中值定理）设 g(x)在a,b上可积，f(x)在a,b上单 调，则存在a
13、,b 使,7,b a, f (x)g(x)dx = g(a)a f (x)dx g(b)a f (x)dx,为了证明定理 9.12，我们先讨论下列特殊情况 引理 9.1 设 f(x)在a, b上单调下降并且非负，函数 g(x)在a,b上可积， 则存在ca,b，使,bc a,a,f (x)g(x)dx =f(a)g (x)dx,证明：作辅助函数,x,a, (x) = f(a)g(t)dt,对a,b的任一分法,P:a=x0x1x2xn=b 我们有,b,a,f (x)g(x)dx =,n,x,i,f (x)g(x)dx, i1,xi1,由此得到,学 海 无 涯,|,b a,f (x)g(x)dx ,
14、n,x,x,i,i1,f (xi1 ),i1,g(x)dx |,x,i1, f (x) f (x,n =| i1,xi i1,)g(x)dx |,x,i1,i1,| f (x) f (x) | g(x) | dx,n ,xi i1,n, Li ( f ) xi i1 这里 L 是|g(x)|在a,b的上界, wi ( f ) 是 f (x) 在xi1, xi 上的振幅，从,这个估计式可知, 当 P 0 时,应当有,8,x,i,),f (x,1 ,n i1,i,i1,xb,a,g(x)dx f (x)g(x)dx,我们来证明,xa,b,x,x,i,f (x,n min (x) ,1 ,i1,i,
15、i1,xa,b,)g(x)dx max (x),为此，引入记号,x,a,G(x)=g(t)dt,并作如下变换,x,x,i,f (x)g(x)dx,n ,i1,i1 ,i1,n,= f (xi1 )G(xi ) G(xi1 ) i1,nn = f (xi1 )G(xi ) f (xi1 )G(xi1 ) i1i1 nn1 = f (xi1 )G(xi ) f (xi )G(xi ) i1i0,9,学 海 无 涯 nn1 = f (xi1 )G(xi ) f (xi )G(xi ) （G(x0 ) G(a) 0） i1i1,n,= f (xi1 ) f (xi )G(xi ) f (xn )G(xn ) i1,因为f (xi1) f (xi ) 0,f (xn ) 0 , 所以,x,x,i,f (x)g(x)dx,n i1,i1 ,i1,n,= f (xi1 ) f (xi )G(xi ) f (xn )G(xn ) i1,n,i1, f (xi1 ) f (xi ) f (xn ) min G(x),xa,b,= f (a) min G(x),xa,b,同样可证,x,x,i,f (x,n ,1 ,i1,i,i1,)g(x)dx f (a) max G(x),xa,b,我们证明了不等式,xa,b,x,x,i,n f (a) min G(x) f (x,1 ,i1,i,
