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1、第五节函数的奇偶性和周期性,基础梳理,1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意xA，都有_，则称函数y=f(x)为奇函数；如果对于任意xA，都有_，则称函数y=f(x)为偶函数 2. 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象_；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象_ 3. 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数_叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),关于原点对称,关于y轴对称,T,f(x+T
2、)=f(x),4. 奇(偶)函数有关定义的等价形式： f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=_ =_(f(x)0) 5. 奇(偶)函数有关的结论 (1)若一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=_. (2)若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)+f(-x)为_函数； f(x)-f(-x)为_函数； f(x)f(-x)为_函数,0,1,0,偶,奇,偶,6. 函数周期性的相关结论 (1)设a是非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列 条件之一成立： f(x+a)=-f(x)；f(x+a)= ；f(x+a)=- ； f(x+a)=f(x-a)，则f(x)是周期函数，2
3、|a|是它的一个周期 (以上各式中分母均不为零) (2)函数图象的对称性：若f(x+a)=f(b-x)(a、b为常数)在定 义域上恒成立，则f(x)的图象关于直线_对称 特别地，若f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线_ 对称，_时，f(x)为偶函数,a=0,x=a,基础达标,1. (必修1P39例6改编)有以下函数： f(x)=x2-1；f(x)=x3-2x；f(x)=2|x|-1； f(x)=(x-1)2；f(x)=x4，x-2,2)；f(x)= . 其中，奇函数有_，偶函数有_ (填序号),解析：验证f(-x)与f(x)的关系，可知为奇函数， 为偶函数，的定义域不关于原点对称
4、， 不满足奇、偶函数定义，故为非奇非偶函数,2. (2010泰州调研)设f(x)是定义在R上的奇函数， 且f(3)+f(-2)=2，则f(2)-f(3)=_.,3. 已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数， 那么a+b=_.,解析：f(x)为R上的奇函数， f(2)-f(3)=-f(2)+f(3)=-f(-2)+f(3)=-2.,-2,解析：定义域关于原点对称，故a-1+2a=0，则a= ， 又f(x)为偶函数，故b=0，a+b=,4. 下面四个命题： 偶函数的图象一定与y轴相交； 奇函数的图象一定通过原点； 偶函数的图象关于y轴对称； 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(
5、x)=0(xR) 其中正确的命题序号为_,4.解析：错误，比如f(x)= ；错误，比如f(x)= ； 错误，如f(x)=0，x-1,1,5. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)， 当x(0,2)时，f(x)=2x2，则f(2 011)=_.,解析：f(x+4)=f(x)， f(x)的最小正周期为4， 又f(x)为奇函数，f(2 011)=f(-1+2 012)=f(-1)=-f(1)=-2.,-2,经典例题,题型一判断函数的奇偶性,【例1】判断下列各函数的奇偶性,分析： (1)考虑定义域；(2)利用定义域先化简函数；(3)分段讨论,解：(1)由 0，得定义域为-1,1)，
6、 不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数 (2)由 得定义域为(-1,0)(0,1) 这时 ， ，f(x)为 偶函数,(3)当x1， f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x) 当x1时，f(x)=-x+2，-x-1， f(-x)=-x+2=f(x) 当-1x1时，f(x)=0， 又-1-x1，f(-x)=f(x)=0. 对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x)， f(x)是偶函数,判断下列函数的奇偶性,变式1-1,(3)f(x)=x2-|x-a|+2.,解析:(1)当x0，则 f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x0时，-x0，则 f(-x)=(-x)2+(-x)=
7、x2-x=f(x) 对任意x(-，0)(0，+)都有f(-x)=f(x)， 故f(x)为偶函数,(2)由 得x= 或x= ， 函数f(x)的定义域为 ， 又对任意的x ， ，f(x)=0， f(-x)=f(x)=-f(x) f(x)既是奇函数又是偶函数,(3)函数f(x)的定义域为R. 当a=0时，f(x)=f(-x)，f(x)是偶函数； 当a0时，f(a)=a2+2，f(-a)=a2-2|a|+2， f(a) f(-a)，且f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2) ， f(x)是非奇非偶函数,题型二奇偶性的应用,【例2】(1)已知函数f(x)= (a，b，cZ)是奇函数，又f(1)=2，
8、f(2)f(2x)，求x的取值范围,分析： 第(1)小题关键是f(-x)=-f(x)恒成立的应用， 即 对定义域中任何x都成立， 所以-bx+c=-bx-c恒成立，可得c=0； 第(2)小题关键是利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)， 将f(3x-1)f(2x)转化为f(|3x-1|)f(|2x|)，这样就 避免了讨论,解：(1)由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c)，c=0. 又f(1)=2，得a+1=2b，而f(2)3，得 3， 解得-1a2. 又aZ，a=0或a=1. 若a=0，则b= Z，应舍去； 若a=1，则b=1Z. a=1，b=1，c=0.,(2)f(x)是偶函
9、数且在(0，+)上是增函数， 由f(3x-1)f(2x)，得f(|3x-1|)f(|2x|)， 因而有|3x-1|2x|，化简得5x2-6x+10， 解得x1. 则x的取值范围为 (1，+),已知函数f(x)对一切x、yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)试判断f(x)的奇偶性； (2)若f(-3)=a，用a表示f(12),变式2-1,解析：(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称 函数f(x)对一切x、yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)， 令x=y=0，得f(0)=2f(0)，f(0)=0. 再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)， f(-x)=-f(x)，f(
10、x)为奇函数 (2)f(-3)=a且f(x)为奇函数，f(3)=-f(-3)=-a. 又f(x+y)=f(x)+f(y)，x、yR， f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.,【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任 意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)当x0,2时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x2,4时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011),题型三函数周期性及其应用,分析： 技巧在于通过换元进行转化，求函数f(x)的解析式 要利用函数的周期性进行转化，
11、转化到已知区间上， 因为只有此时才有函数解析式,解：(1)证明：f(x+2)=-f(x)， f(x+4)=-f(x+2)=f(x) f(x)是周期为4的周期函数 (2)当x-2,0时，-x0,2， 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2， 又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2， f(x)=x2+2x. 又当x2,4时，x-4-2,0， f(x-4)=(x-4)2+2(x-4) 又f(x)是周期为4的周期函数， f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x2,4时，f(x)=x2-6x+8.,(3)f(0)=0，f(2)=
12、0， f(1)=1，f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011)=0.,变式3-1,已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)， 当0 x1时，f(x)= x，求使f(x)=- 的所有x的值,解析：f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， f(x)的周期为4， 当0 x1时，f(x)= x， f(1)= ，f(-1)=- ， 当x=4k-1，kZ时，f(x)=
13、-,【例】判断函数f(x)= 的奇偶性 错解 当x0时，f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3= -(x2+2x+3)=-f(x)； 当x0时，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3) =-f(x) 函数f(x)是奇函数,正解：f(x)既不是奇函数也不是偶函数,易错警示,链接高考,(2010江苏)设f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数， 则a=_. 知识准备： 1. 理解函数奇偶性的定义；2. 会用赋值法求解函数问题,解析： 方法一：由f(-x)=f(x)-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x)， a=-1. 方法二：f(x)为R上的偶函数，可以赋特殊值，
14、 故f(-1)=f(1)a=-1. 方法三：f(x)=x(ex+ae-x)是由两个函数h(x)=x 与g(x)=ex+ae-x相乘而得，又h(x)=x为奇函数， 且f(x)为偶函数，则g(x)在R上为奇函数，故g(0)=0a=-1.,-1,2. (2010山东改编)设f(x)为定义在R上的奇函数， 当x0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=_. 知识准备： 1. 知道奇函数的定义及奇函数在原点处 有定义时f(0)=0； 2. 知道要求f(-1)时转化为求f(1),解析：f(x)是定义在R上的奇函数， f(-x)+f(x)=0， 当x=0时，f(0)=0，可得b=-1， 此时f(x)=2x+2x-1(x0)， f(-1)=-f(1)=-(21+2-1)=-3.,-3,
