正态分布习题课课件

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1、,正 态 分 布,忆 一 忆 知 识 要 点,1正态曲线及性质,(1)正态曲线的定义,忆 一 忆 知 识 要 点,(2)正态曲线的性质：,上方,1,越小,越大,忆 一 忆 知 识 要 点,2. 正态分布,总体的期望,标准差,0.6826,0.9544,0.9974,忆 一 忆 知 识 要 点,2. 正态分布,3. 3原则,正态总体几乎总取值于区间 之内而在此区间以外取值的概率只有0.26,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.,在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量只取 之间的值，并称为3原则,忆 一 忆 知 识 要 点,正态分布的性质,要确定一个正态分布的概率密度函数

2、的解析式,关键是求解析式中的两个参数,的值,其中决定曲线的对称轴的位置,则与曲线的形状和最大值有关,正态分布的性质,解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响,某地区数学考试的成绩 X 服从正态分布，其密度曲线如图所示 (1)求总体随机变量的期望和方差； (2)求成绩X位于区间(52,68的概率,(2)成绩X位于区间(52,68的概率为 P(2X2)0.954 4.,解:(1)从给出的密度曲线图可知，,服从正态分布的概率计算,服从正态分布的概率计算,服从正态分布的概率计算,求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的

3、性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上,由正态分布的特征易得,0.1,0.0026,正态分布的应用,正态分布的应用,解决此类问题，首先要确定与的值，然后把所求问题转化到已知概率的区间上来，在求概率时，要注意关于直线x对称的区间上概率相等这一性质的应用,(10分)若XN(5, 1), 求P(6X7).,29,利用正态曲线的对称性求概率,解:因为XN(5,1),又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称,(10分)若XN(5, 1), 求P(6X7).,29,利用正态曲线的对称性求概率,(1)本题考查正态分布问题，重点考查根据正态曲线的对称性求概率 (2)本题易错原因是，找不到(3, 4)与(6

4、, 7)的对称关系，无法求解有些考生计算错误,(10分)若XN(5, 1), 求P(6X7).,方法与技巧,失误与防范,预祝各位同学， 期中考试取得好成绩!,不属于区间(3, 5 的概率为,三、解答题,三、解答题,三、解答题,三、解答题,(1)非负性:曲线 在轴的上方,与x轴不相交.,(2)定值性:曲线 与x轴围成的面积为1,(3)对称性:正态曲线关于直线 x=对称,曲线成“钟形”,(4)单调性:在直线 x=的左边, 曲线是上升的;在直线 x=的右边, 曲线是下降的.,1.正态曲线的性质,(5)最值性:当 x=时, 取得最大值 .,(6)几何性:参数和的统计意义: E(x)=,曲线的位置由决定

5、; D(x)=2,曲线的形状由决定.,(1) 利用3原则,将随机变量的取值转化到三个特殊区间中. 熟记 P(X) P(2X2), P (3X3)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对 称的区间上概率相等 P(Xa)1P(xa)，P(X a)P(Xa),2正态分布中的概率计算的常用方法,若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0,即P(Xa)0，而Xa并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(Xa)(Xa)是成立的，这与离散型随机变量不同,3服从正态分布的随机变量X的概率特点,忆 一 忆 知 识 要

6、 点,A,练一练,A,【2】某校高三男生共1000人, 他们的身高X(cm)近似服从正态分布 ,则身高在180cm以上的男生人数大约是( ) A.683 B.159 C.46 D.317,练一练,B,练一练,C,练一练,B,C,A,0.8,这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28,解:设参赛学生的分数为 ,【4】(2006湖北)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.试问此次参赛的学生总数约为多少人？,P(90)1P(90),因此, 参赛总人数约为,C,【6】(2010广东理

7、)已知随机变量X服从正态分布N(3, 1)且P(2x4)0.6826，则P(X4)() A0.1588 B0.1587 C0.1586 D0.1585,B,解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！ 波利亚,这个试验是英国科学家高尔顿设计的,具体如下:在一块木板上,订上n+1层钉子,第1层2个钉子,第2层3个钉子,第n+1层n+2个钉子,这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形差不多.自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中小球碰到钉子时,从左边落下的概率是p,从右边落下的概率是1-p,碰到下一排也是如此.最后落入底板中的某个格.下面我们来试验一下:,25.39

8、 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40

9、 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39,某钢铁加工

10、厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下:,正态曲线的由来,列出频率分布表,100件产品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸/mm,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,25.565,o,2,4,6,8,频率分布直方图,200件产品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸/mm,25.265,25.325,25.385,25.445,25.

11、505,o,2,4,6,8,产品内径尺寸/mm,o,2,4,6,8,样本容量增大时频率分布直方图,总体密度曲线,可以看出,当样本容量无限大,分组的组距无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线-总体密度曲线.,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式,这一公式被认为是正态分布的首次露面.,数学趣苑,卡尔弗里德里希高斯,高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)(1777年 4月30日1855年2月23日)，生于不伦瑞克，卒 于哥廷根，德国著名数学家、物理学

12、家、天文 学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的 数学家，并有数学王子的美誉。 1792年，15岁德高斯进入Braunschweig学院。 在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现 了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律” (Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，17岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。,18岁的高

13、斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。 在高斯19岁时，仅用尺规便构造出了17边形。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。 高斯计算的谷神星轨迹，高斯总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个实数或者复数解。在他的第一本著名的著作数论中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理

14、的概念。,卡尔弗里德里希高斯,高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下，结算出天体的运行轨迹。并用这种方法，发现了谷神星的运行轨迹。谷神星于1801年由意大利天文学家皮亚齐发现，但他因病耽误了观测，失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话中“丰收女神”(Ceres)来命名它，即谷神星(Planetoiden Ceres)，并将以前观测的位置发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。高斯通过以前的三次观测数据，计算出了谷神星的运行轨迹。奥地利天文学家 Heinrich Olbers在高斯的计算出的轨道上成功发现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著作天体运动论(Theo

15、ria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。 高斯设计的汉诺威大地测量的三角网为了获知任意一年中复活节的日期，高斯推导了复活节日期的计算公式。,卡尔弗里德里希高斯,在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法，显著的提高了测量的精度。出于对实际应用的兴趣，他发明了日光反射仪，可以将光束反射至大约450公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进，试制成功被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。高斯亲自参加

16、野外测量工作。他白天观测，夜晚计算。五六年间，经他亲自计算过的大地测量数据，超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后，高斯就把主要精力转移到处理观测成果的计算上来，并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。在这些论文中，推导了由椭圆面向圆球面投影时的公式，并作出了详细证明，这套理论在今天仍有应用价值。汉诺威公国的大地测量工作直到1848年才结束，这项大地测量史上的巨大工程，如果没有高斯在理论上的仔细推敲，在观测上力图合理精确，在数据处理上尽量周密细致的出色表现，就不能完成。在当时条件下布设这样大规模的大地控制网，精确地确定2578个三角点的大地坐标，可以说是一项了不起的成就。,日光反射仪由于要解决如何用椭圆在球面上的正形投影理论解决大地测量问题，高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论，这成了微分几何的重要基础。