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1、1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.1 正弦定理,第一章 解三角形,高中新课程数学必修,第一课时,问题提出,3.对于直角三角形，我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系，我们需要建立相关理论进行沟通，这是一个有待探究的课题.,2.三角形是最基本的几何图形，许多与测量有关的实际问题，都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度；测量在海上航行的轮船的航速和航向等.,正弦定理,知识探究（一）：正弦定理的形成,思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几种表示形式？由此可得什么结论？,思
2、考3： 可变形为 , 在锐角ABC中，该等式是否成立？为什么？,思考4： 若C为钝角， 是否成立？ 若A为钝角， 是否成立？ 若B为钝角， 是否成立？,思考5：在任意三角形中，同理可得， , 因此有 该连等式称为正弦定理.如何用文字语言描述正弦定理？,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.,知识探究（二）：正弦定理的向量证明,思考2：若A为锐角，过点A作单位向量i，使i ,则向量i与 , , 的夹角分别是什么？,思考3：由 可得什么结论？,思考4：若A为钝角，上述推理过程有什么变化？所得结论如何？,思考5：若证明 ，应如何作单位向量i？,理论迁移,例1 在ABC中，已知A=32.0，B
3、=81.8，a=42.9cm，解三角形.,C=66.2，b80.1cm，c74.1 cm.,例2 在ABC中，已知a=20cm， b=28cm，A=40，解三角形.,例3 在ABC中，已知a=60cm，b=50cm，A=38，解三角形.,sinB0.8999，B64，C=76，c30 cm；或B116，C=24，c13 cm.,sinB0.5131，B31，C=111，c91 cm,小结作业,1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.,2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即 ， ， 每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.
4、,3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.,作业： P4 练习 ：1, 2.,1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.1 正弦定理,第二课时,问题提出,1.正弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.,2.在解三角形中，利用正弦定理可以解决哪两类问题？,已知两角和一边解三角形； 已知两边和其中一边的对角解三角形.,3.在正弦定理中， 有什么几何意义？利用正弦定理可以得到哪些相关结论？这需要我们作进一步了解和探究，加深对正弦定理的理性认识.,正弦
5、定理的拓展,3.在正弦定理中，,3.在正弦定理中，,探究（一）：正弦定理的几何意义,3.在正弦定理中，,3.在正弦定理中，,思考2：如图，作ABC的外接圆，你能构造一个一条直角边长为a，其对角大小为A的直角三角形吗？,思考3：设ABC的外接圆半径为R，则 等于什么？,思考4：如图，若A为钝角，上述结论还成立吗？,若A为直角呢？,探究（二）：正弦定理的变式拓展,思考1：在三角形中有“大边对大角”原理，如何利用正弦定理进行理论解释？,思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪些变形？,思考3：利用正弦定理如何求三角形的周长？,思考4：设ABC的外接圆半径为R，则其 面积公式 可以作哪些变形？,思考5：在
6、ABC中，设A的平分线交BC 边于点D，则 （角平分线定理），你能用正弦定理证明这个结论吗？,理论迁移,例1 在钝角ABC中，已知AB= ，AC=1，B=30，求ABC的面积.,例2 在ABC中，已知 ，sinB=sinC，且ABC的面积为 ，求c边的长.,例3 在ABC中，已知acosB=bcosA，试确定ABC的形状.,等腰三角形,例4 在ABC中，已知 ，求角A的值.,120,小结作业,1.正弦定理是以三角形为背景的一个基本定理，它不仅可以用来求三角形的边角值，而且可以在三角变换中实现边角转化，是解决三角形问题的一个重要工具.,2.正弦定理的应用具有一定的灵活性，在处理三角形的边角关系时
7、，利用a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，可达到化边为角的目的.,3.正弦定理不是万能的，如已知三角形的三边长，利用正弦定理就不能求出三个内角，因此我们还需要建立新的理论.欲知后事如何，且听下回分解.,作业： P10习题1.1 A组：2. B组：2.,1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.2 余弦定理,第一课时,问题提出,1.正弦定理的外在形式是什么？其数学意义如何？,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，且等于外接圆直径.,2.若已知三角形的两边及其夹角或已知三边，能否用正弦定理解三角形？,3.对于上述问题，需要建立一个新的数学理论才能解决，这是我们要研究的课题.,余
8、弦定理,探究（一）：余弦定理的推导,思考1：根据平面几何中两个三角形全等的判定定理，确定一个三角形可以是哪些条件？,边、角、边,角、边、角,边、边、边,思考2：在ABC中，已知边a，b和角C，从向量的角度考虑，可以求出什么？,c,思考3：c边的长即为 ，向量 与 ， 有什么关系？,思考4：如何将 转化为c与a，b，C的关系？,思考5：根据上述推导可得， ，此式对任意三角形都成立吗？,思考6：如图所示建立直角坐标系，点A，B的坐标分别是什么？ 根据两点间的距离公式可得什么结论？,A(bcosC，bsinC),B(a，0),思考7：通过类比，a2，b2分别等于什么？,思考8：上述三个等式称为余弦定
9、理.如何用文字语言描述余弦定理？,三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.,探究（二）：余弦定理的变式,思考2：已知三角形的三边a，b，c，求三内角A，B，C，其计算公式如何？,思考3：上述三个公式是余弦定理的推论，如何通过三边的大小关系判断A是锐角、直角还是钝角？,思考4：若已知边a，b和角A，能直接用余弦定理求边c吗？,思考5：结合正弦定理， 可作什么变形？,理论迁移,例1 在ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41，解三角形.,a21676.82，a41cm，sinC0.544，C33，B106.,例2 在ABC中，已知a=134.6c
10、m，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形.,cosA0.5543，A5620，cosB0.8398，B3253，C9047.,例3 在ABC中，已知a= ，b= ，B=30，求边长c的值.,4,例4 已知ABC的周长为20，A=30，a=7，求这个三角形的面积.,小结作业,1.余弦定理及其推论，把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的原理，从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式.,2.余弦定理的主要作用是已知两边一角求边，或已知三边求角，所得结论是唯一的.同时，利用余弦定理也可以实现边角转化.,3.余弦定理及其推论共有六个基本公式，应用时要注意适当选取，有时可结
11、合正弦定理求解.,作业：P8练习：1，2.,1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.2 余弦定理,第二课时,知识整理,1.余弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？,三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.,2.在三角形的六个基本元素中，已知哪三个元素可以解三角形？,3.针对上述类型，分别用哪个定理求解为宜？,已知一边两角：正弦定理；,已知两边及夹角：余弦定理；,已知两边及对角：正弦定理；,已知三边：余弦定理.,一边两角，两边一角，三边.,应用举例,例1 在ABC中，已知 (sinAsinC)(sinAsinC) sinB(sinBsinC)，求角A的值.,120,例2 在ABC中，已知ac2b， B30，面积为 ，求b的值.,例3 在ABC中，已知C30，求 的值.,例4 在ABC中，求证：,例5 在ABC中，求证：,例6 在ABC中，求证：,小结作业,1.以三角形为背景求值或证明三角等式，是三角变换中的两个基本问题，活用正、余弦定理，从整体进行变形和运算，是解题的基本思想.,2.利用正、余弦定理化边为角，或者化角为边，是处理三角形中三角变换问题的基本策略，是实现三角运算与代数运算相互转化的主要手段.,作业：P10习题1.1 A组：3.,
