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1、1.2.1 应用举例,解斜三角形公式、定理,正弦定理：,余弦定理：,三角形边与角的关系：,2、 大角对大边，小角对小边 。,2.余弦定理的作用,（1）已知三边，求三个角；,（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；,（3）判断三角形的形状。,推论:,斜三角形的解法,用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。,正弦定理,余弦定理,正弦定理,余弦定理,由A+B+C=180,求出另一角，再用正弦定理求出两边。,用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。,用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。,一边和两
2、角 (ASA或AAS),两边和夹角(SAS),三边(SSS),两边和其中一 边的对角(SSA),解斜三角形理论在实际问题中的应用,实际应用问题中有关的名称、术语,1.仰角、俯角、视角。,（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。,（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。,（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）,水平线,视线,视线,仰角,俯角,2.方向角、方位角。,（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。,（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。,点A在北偏东6
3、00，方位角600.,点B在北偏西300，方位角3300.,点C在南偏西450，方位角2250.,点D在南偏东200，方位角1600.,3.水平距离、垂直距离、坡面距离。,水平距离,垂直距离,坡面距离,坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离,坡角: tan=垂直距离/水平距离,A,C,B,51o,55m,75o,测量距离,例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。,测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,解：根据正弦定理，得,答：A,B两点
4、间的距离为65.7米。,A,B,C,D,A,B,a,解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，BCA=，ACD=，CDB=， ADB=,分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得,计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,注：阅读教材P12，了解基线的概念,练习1.一艘船以32.2n mile / hr的
5、速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？,练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,（1）什么是最大仰角？,（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？,在ABC中已知什么，要求什么？,练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆B
6、C的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC,解：由余弦定理，得,答：顶杆BC约长1.89m。,测量高度,测量垂直高度,1、底部可以到达的,测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。,图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？,想一想,2、底部不能到达的,例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法,分析：由于建筑物的底部B是不可到达
7、的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。,解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在 ACD中，根据正弦定理可得,例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,CD=BD-BC177-27.3=150(m),答：山的高度约为150米。,解：在ABC中
8、，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，,例5：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.,解：在ABC中，A=15, C=
9、25 15=10. 根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为1047米。,变式：某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？,例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1
10、,距离精确到0.01n mile）?,解：在 ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，,练习,解：（如图）在ABC中， 由正弦定理可得：,因为BCAB，所以A为锐角 ， A1415, B180（AC）8545,又由正弦定理：,解 题 过 程,答：活塞移动的距离为81mm,解 题 过 程,解：如图，在ABC中由余弦定理得：,我舰的追击速度为14海里/小时，,练习,又在ABC中由正弦定理得：,故我舰航行的方向为北偏东,3. 3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。,总 结,实际问题,四、面积公式推导,应用四：有关三角形计算,例8: 如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68m, 88m, 127m, 这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2）,应用四：有关三角形计算,解：设a=68m , b=88m, c=127m, 根据余弦定理可得：,答：这个区域的面积是2840.4m2,应用五：三角形恒等式证明,应用五：三角形恒等式证明,1、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图； 2.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题） 3.求模（正确运用正、余弦定理求解） 4，还原。,小结：求解三角形应用题的一般步骤：,
