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1、9.5空间角(A、B),考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考,9.5空间角(A、B),双基研习面对高考,双基研习面对高考,基础梳理,1异面直线所成的角 已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作aa，bb，我们把_所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 2斜线和平面所成的角 (1)斜线与斜线在平面的_所成的角叫斜线与平面所成的角，其范围为0，90,a与b,射影,(2)直线与平面所成的角可转化为直线与直线在平面内的射影所成的角，也可用公式coscos1cos2来计算或通过向量法求解 设平面的法向量为n，直线a的方向向量为a，若直线与平面所成的角为，则sin|cosn，a|.,(3)射影定
2、理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： 射影相等的两条斜线段_，射影较长的斜线段也较长； 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； 垂线段比任何一条斜线段_ (4)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角，且cos _.,相等,都短,cos1cos2,3二面角 (1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 (2)二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做_ (3)二面角的平面角的作法： 定义法；三垂线定理法；作棱
3、的垂面法；向量法,两个半平面,垂直于棱,二面角的平面角,思考感悟 1异面直线a，b的方向向量a，b的夹角a，b是异面直线所成的角吗？,2二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置有关吗？ 提示：如图，用两个垂直于棱的平面1，2去截一个二面角a，由等角定理知，所截得的两个角1和2相等，这说明二面角的平面角与二面角的棱上选的点的位置无关,3用平面的法向量，如何求线面角、二面角的大小？,1(教材例1改编) 如图，AB与面所成的角ABO45，DCODD，且DC，ODC45，则异面直线AB与DC所成的角为() A60B45 C30 D90 答案：A,课前热身,答案：A,3下列说法正确的是() A若
4、直线l1、l2和平面所成的角相等，则l1l2 B若直线l1和l2平行，则l1、l2和平面所成的角相等 C若直线l1和l2相交，则l1、l2和平面所成的角必不相等 D若直线l1、l2和平面所成的角不相等，则l1与l2也可平行 答案：B,4等腰直角ABC中，ABBC1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为_ 答案：90,答案：45,考点探究挑战高考,考点突破,求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成的角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊点的选取，选取特殊点时，要尽可能地使它与题设的所有相关条件和解题目标紧密地联系起来,如图，
5、已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点 求直线B1C与DE所成角的余弦值,找斜线与平面所成的角，实质就是找斜线在平面内的射影，也就是找斜线上的点在平面上的射影，转化为解Rt或用向量、或者用公式coscos1cos2.参考教材例1及习题9.7第5题,四面体ABCS中，SB、SA、SC两两垂直，SBA45，SBC60，M为AB的中点，求： (1)BC与平面SAB所成的角； (2)SC与平面ABC所成角的正弦值 【思路分析】由SA、SB、SC两两垂直，寻找面面垂直及线面垂直，从而作出所求的角,【解】(1)SCSB，SCSA，SASBS， SC平面SAB，故SB是斜线BC在平面SAB上的
6、射影， SBC是直线BC与平面SAB所成的角，大小为60.,【思维总结】此题采用了作角，求角的方法，转化到直角三角形求解还是比较方便的，也可以建立Sxyz的坐标系求解 互动探究1在本例中，CB与平面SAC所成的角和CA与面SCB所成的角相等吗？分别是多少,解：SBSA，SBSC，SASCS， SB平面SAC. SCB为CB与平面SAC所成的角 同理，SA面SBC. SCA为CA与平面SCB所成的角 又SBSA，CSACSB90，SCSC RtCSARtCSB. SCBSCA906030.,求二面角的大小，一般先作出(或找出)其平面角作平面角的方法常用定义法、三垂线法、作棱的垂面法若不找平面角，
7、可联想垂直于棱的异面直线所成的角或结合向量求解，参考教材习题9.7第5题,如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45，直线CA和平面所成的角为30. (1)证明：BCPQ； (2)求二面角BACP的余弦值,【思路分析】利用面面，在内可作的垂线，以此可作出其平面角对于(B版)可利用建系法,【解】(1)证明：在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB. 因为，PQ， 所以CO.又因为CACB， 所以OAOB. 而BAO45，所以ABO45，AOB90. 从而BOPQ.又COPQ，BOCOO，所以PQ平面OBC， 因为BC平面OBC，所以PQBC.,(2)法一：由(1)知，BOPQ，
8、又，PQ，BO， 所以BO. 过点O作OHAC于点H，连结BH， 由三垂线定理知，BHAC. 故BHO是二面角BACP的平面角 由(1)知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角， 则CAO30.,【思维总结】二面角是三种角中最复杂的一种，求解二面角的方法很多，其关键是求其平面角用向量求该角时，要注意两个平面的法向量的方向 互动探究2如果例3条件不变，求二面角CABP的大小(理)(文科求其余弦值),对于没有画出“棱”的二面角，求角时，应先画出其棱，再找出平面角进行转化，或者用平面的法向量,【思路分析】对于面SCD与面SBA“无棱”，应根据公理2过S点可作两平面的交线,【思维总结】对于“无棱”的二
9、面角，必须先找出棱才能找出平面角，否则就利用法向量所夹的角求二面角，省去作平面角的过程，或者利用射影面积计算,方法技巧 1“线线角抓平移，线面角定射影”，求直线和平面所成的角，关键是确定直线在平面内的射影若不好确定斜线在平面内的射影，也可先找到斜线上的一点到平面的距离，然后利用这个距离与斜线段长之比求出线面角的正弦值，从而求出线面角还可利用“斜线与平面所成角”与“斜线和平面的垂线所成角”互余，将线面角转化为线线角来求如例1，例2.,方法感悟,2确定二面角的平面角的常用方法 (1)定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角 (2)三垂线定理
10、及逆定理法：自二面角的一个半平面上一点A(不在棱上)向另一半平面所在平面引垂线，再由垂足B(垂足在棱上则二面角为直二面角)向棱作垂线得到棱上的点C，连结AC则ACB(或其补角)即为二面角的平面角,失误防范,考向瞭望把脉高考,考情分析,从近两年的高考试题来看，考查的内容主要有： (1)两异面直线所成的角； (2)直线和平面所成的角； (3)二面角,空间角是立体几何中的一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现结合平行、垂直关系组成综合题，难度稍大，既可用普通法求解，也可用建
11、系、用向量求解,2010年的高考中，对角的考查很普遍，大纲全国卷理第7题以选择题形式考查了线面角的计算，同时第19题又考查了二面角的求法，江西文第20题同时考查了线面角与二面角的求法，上海第21题考查了异面直线所成的角 预测2012年高考仍将以选择题、填空题和解答题的形式重点考查对几类角的求解，其中解答题仍会结合平行、垂直关系和求距离一起形成综合题求角的过程中可能会用到余弦定理，故复习的过程中要加强对余弦定理的练习和运算能力的培养,规范解答,【解】法一：(1)如图，取CD中点O，连接OB，OM， 则OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.2分 所以MOAB，A、B、O、
12、M四点共面延长AM，BO相交于E, 则AEB就是AM与平面BCD所成的角.4分,(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线 由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形 作BFEC于F，连接AF，则AFEC，AFB就是二面角AECB的平面角，设为.8分,法二： 取CD中点O，连接OB、OM，则OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD， 则MO平面BCD.2分 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图：,【名师点评】本题在面面垂直、线面垂直的基本关系上，考查了线面角，二面角的求法，体现了空间几何体中作、证、算于一体的基本思想，难度稍大其难点是本题所涉及的
13、几何体不是常见的柱、锥等几何体，空间关系只能从正三角、面面垂直、线面垂直的性质来寻找，理清这些性质，其它问题就可迎刃而解,如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90. (1)求证：BC平面PAC； (2)若D，E，F分别为PB，PC，AC的中点，在PB上是否存在一点G，使得FG平面ADE？若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)求二面角APBC的余弦值,名师预测,解：(1)证明：PA底面ABC，PABC，又BCA90， ACBC. 又ACPAA，BC平面PAC. (2)点G为BD的中点时，FG平面ADE. 证明如下：取EC的中点H，连结FH，HG，FG，则FHAE，HGED，故FH平面ADE，HG平面ADE.FHHGH，故平面FHG平面ADE， 又FG平面FHG， FG平面ADE.,
