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1、第二节等差数列,第二节等差数列,考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考,双基研习面对高考,双基研习面对高考,1等差数列 (1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示，公差的表达式为_,公差,anan1d(nN*，n2),(2)等差中项 任意两个数a，b有且只有一个等差中项，即_. (3)等差数列的通项公式 an_，an_，其中nm，也可以nm.但am、an必须是数列中的项，也可得d_或d_.,a1(n1)d,am(nm)d,(4)等差数列的求和公式(由倒序相加法推得) Sn_，Sn_.,思考感悟
2、 若数列an的前n项和为Snan2bn，能否断定数列an是等差数列？反之是否成立？,提示：数列an的前n项和为Snan2bn数列an是等差数列,2等差数列的性质 (1)若公差d0，则此数列为递增数列；若d0，则此数列为递减数列；若d0，则此数列为常数列 (2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即 a1ana2an1a3an22a中,(3)若m，n，p，kN*，且mnpk，则_，其中am，an，ap，ak是数列中的项，特别地，当mn2p时，有_ (4)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍
3、然是等差数列但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列,amanapak,2apaman.,(5)若数列an与bn均为等差数列，则mankbn仍为等差数列，其中m，k均为常数 (6)若an成等差数列，Sn为其前n项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列 (7)项数为偶数2n的等差数列an，有,nd,an,1在数列an中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项公式an_. 答案：2n1 2(2011年无锡调研)若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为28，则其他两角的度数分别为_ 答案：60，92,3下列命题中正确的是_ 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成
4、等差数列 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 答案：,4等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和Sn100，则n_. 答案：10,考点探究挑战高考,1等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，anan1d(常数)(nN*，n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1(n2),2解填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断 (1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列 (2)前n项和法：若数列an的前
5、n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则数列an为等差数列 若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可,【名师点评】本题中SnSn12SnSn10，是构造等差数列的一种典型结构，可以看作一种结论，第(2)问中易漏掉n1的情况,等差数列性质的考查是高考的重点，其中的运算可繁可简，其原因就在于等差数列中的相关性质的应用，而且等差数列所具备的函数的一些性质，更使数列的命题可难可易重点掌握性质的灵活应用,【名师点评】利用等差数列的性质解题，需仔细观察代数式中各项间的联系，尤其在一些有关的结论上要熟记熟用 变式训练1 等差数列an的前n项和为Sn.已知am1am1a0
6、，S2m138，求m的值,由于等差数列的求和，题目不算难，属于基本题型，但求和问题常与其他知识联系起来命题，如与最值、恒成立、不等式等结合,(2010年高考课标全国卷)设等差数列an满足a35，a109. (1)求an的通项公式； (2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值 【思路分析】由a3，a10联立求a1，d1，再求出Sn，利用二次函数的性质求最值,【名师点评】等差数列的前n项和Sn可看作关于n的二次函数，因而可借助于二次函数的有关性质研究Sn的最值问题 变式训练2 记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.,方法技巧,1等差数列的证
7、明或判定，主要方法有两种： (1)利用定义，证明an1an常数； (2)利用中项性质：2anan1an1(n2) 2注意推广的通项公式的应用：aman(mn)d.,3由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个可求其余两个量(知三求二)，善于恰当选择公式，减少运算量 4注意等差数列的设法如奇数个数成等差数列，除了设成a，ad，a2d，外，还可设成，a2d，ad，a，ad，a2d，. 5计算中灵活运用常用性质，整体代换，可使运算量减少，体现运算的合理性、技巧性 6等差数列的最值 若an是等差数列，求前n项和的最值时，,(3)除上面方法外，还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题
8、，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN*.,失误防范,1等差数列的性质amanapaq(mnpq)错误地理解为amapaq(mpq) 2等差数列的通项公式的变形anam(nm)d，易错记为anam(n1)d. 3在某个数列中，算项数时易算错，如a1，a2，a3，an中，从a3到a10应有8项，易错算成1037项,考向瞭望把脉高考,从近几年的江苏高考试题来看，等差数列的判定，等差数列的通项公式、前n项和公式以及与前n项和有关的最值问题等是高考的热点，题型既有填空题又有解答题，难度中等偏高；客观题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念
9、的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、分类讨论等思想方法,预测2012年江苏高考在本部分内容仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查运算能力与逻辑推理能力,【名师点评】本题以等差数列为知识背景，结合不等式及推理证明等知识，是一道较为综合的数列题，有一定的难度，第(1)问注重了运算能力，为数列基础知识的考查，而第(2)问的推理论证使思维能力的考查有了较高的要求，要求对不等式的知识要熟练，并且能在不同的知识背景中找到解决问题的着力点，从而解决问题从本题的设计，也提醒同学们在学习中注意数列不等式推理论证方面的综合应用,1等差数列an中，若a1a4a79，a3a6a93，则an的前9项的和S9_.,答案：18,2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S2142，记A ，则A的值为_,答案：1,
