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1、第23讲 与圆有关的计算,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一弧长与扇形的面积 1.如果弧长为l,圆心角为n,圆的半径为R,那么弧长的计算公式为l=. 2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.若扇形的圆心角为n,所在圆的半径为R,弧长为l,面积为S,则S=或lR. 温馨提示扇形面积公式S扇形=lR与三角形面积公式十分类似,可把扇形想象为曲边三角形,把弧长l看作底边长,把R看作底边上的高.,知识点二圆柱和圆锥 1.圆柱的侧面展开图是矩形,如果圆柱的底面圆的半径是r,高是l,则S圆柱侧=2rl;S圆柱全=2rl+2r2;V圆柱=r2l. 2.如果把圆锥的侧面沿着它
2、的一条母线剪开,那么它的侧面展开图是一个扇形,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长.如果圆锥母线长为l,底面半径为r,高为h,则圆锥侧面积S= rl;S圆锥全=rl+r2;V圆锥=r2h.,知识点三阴影部分的面积 1.规则图形:按规则图形的面积公式求. 2.不规则图形:采用“化归”的数学思想方法,把不规则图形的面积采用“割补法”“等积变形法”“平移法”等转化为规则图形的面积.,泰安考点聚焦,考点一弧长与扇形的面积 例1(2018淄博)如图,O的直径AB=6,若BAC=50,则劣弧AC的长为( D ) A.2B.C.D.,解析如图,连接CO, BAC=50,AO=CO=3, ACO=50,AOC=80
3、, 劣弧AC的长为 =. 故选D.,变式1-1(2017烟台)如图,ABCD中,B=70,BC=6,以AD为直径的O交CD于点E,则 的长为( B ) A.B.C.D.,解析连接OE,如图所示. 四边形ABCD是平行四边形, D=B=70,AD=BC=6, OA=OD=3, OD=OE,OED=D=70, DOE=180-270=40,的长=.故选B. 方法技巧在解答有关弧长或扇形面积的计算问题时,熟记计算公式是解题的关键.,考点二与圆锥有关的计算 例2(2018仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( B ) A.120B.180C.240D.300,解析设
4、圆锥的母线长为R,底面半径为r,圆锥侧面展开图的圆心角为n, 圆锥的底面周长=2r,底面积=r2, 圆锥的侧面积=2rR=rR. 圆锥的侧面积是底面积的2倍, rR=2r2, R=2r. 扇形的弧长=圆锥的底面周长, =2r,=2r, n=180,故选B.,变式2-1(2017泰安)工人师傅用一张半径为24 cm,圆心角为150的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 2 cm. 解析扇形的半径为24 cm,圆心角为150, 扇形的弧长=20(cm), 圆锥的底面周长=扇形的弧长=20 cm, 圆锥的底面半径=202=10(cm). 圆锥的母线长=扇形的半径=24 cm, 圆锥的高=2(
5、cm).,方法技巧注意区别圆锥的底面半径与侧面展开图中扇形的半径.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.,考点三不规则图形的面积 例3(2017济宁)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC=1,将RtABC绕点A逆时针旋转30后得到RtADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是( A ) A.B.C.-D.,解析ACB=90,AC=BC=1, AB=,S扇形ABD= =. 又RtABC绕A点逆时针旋转30后得到RtADE, RtADERtABC, S阴影部分=SADE+S扇形ABD-SABC=S扇形ABD= .故选A.,变式3-1
6、(2018威海)如图,正方形ABCD中,AB=12,点E为BC中点,以CD为直径作半圆CFD,点F为半圆CFD的中点,连接AF,EF,图中阴影部分的面积是( C ) A.18+36B.24+18 C.18+18D.12+18,解析作FHBC,交BC的延长线于H,连接AE,如图, 点E为BC的中点,点F为半圆的中点, BE=CE=CH=FH=6, AE= =6, 易得RtABERtEHF, FE=AE=6,AEB=EFH, 而EFH+FEH=90, AEB+FEH=90, AEF=90. 图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆-SABE-SAEF=1212+62- 126-66=18+18
7、. 故选C. 方法技巧在计算不规则图形的面积时,常常把不规则图形的面积转化成规则图形的面积的和或差.转化时常用的方法:(1)割 补法;(2)拼凑法;(3)等积变形法;(4)构造方程法等.,一、选择题 1.(2018德州)如图,从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形.则此扇形的面积为( A ) A. m2B. m2C. m2D.2 m2,随堂巩固训练,2.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm,圆心角为240的扇形,则这个圆锥的底面半径为( C ) A.6 cmB.9 cmC.12 cmD.18 cm 3.(2017淄博)如图,半圆O的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直
8、角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是( A ) A.2+B.2+2 C.4+D.2+4,4.如图,扇形DOE的半径为3,边长为的菱形OABC的顶点A,C,B 分别在OD,OE,上,若把扇形DOE围成一个圆锥,则此圆锥的高 为( D ) A.B.2C.D.,二、填空题 5.(2018郴州)如图,圆锥的母线长为10 cm,高为8 cm,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为12cm.(结果用表示),解析由题意可知圆锥的底面半径为 =6 cm. 圆锥侧面展开图的弧长=圆锥的底面周长=26=12 cm.,6.(2017青岛)如图,直线AB,CD分别与O相切于B,D两点,且ABCD,垂足为P,
9、连接BD,若BD=4,则阴影部分的面积为2-4.,解析如图,连接OB,OD. 直线AB,CD分别与O相切于B,D两点,ABCD, OBP=P=ODP=90, OB=OD,四边形BODP是正方形, BOD=90. BD=4,OB= =2 阴影部分的面积=S扇形BOD-SBOD= - 22=2-4. .,7.如图,P为O直径AB上的一个动点,点C,D为半圆的三等分点,若AB=12,则图中阴影部分的面积为6.,解析连接OC,OD,CD. COD和CPD同底等高, SCOD=SCPD, 点C,D为半圆的三等分点, COD=1803=60, 阴影部分的面积=S扇形COD= =6.,三、解答题 8.圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,求它爬行的最短路线.,解析圆锥的底面半径为1, 其底面周长等于2. 设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为n, 根据圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长得2= ,解得n=6 0, 展开图中的扇形的圆心角为60. 圆锥的侧面展开图如图所示. OBB为正三角形. 故它爬行的最短路线长为BB=OB=6.,
