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1、学案5 不等式的应用,返回目录,1.利用基本不等式求最值: 若p,k为常数,且a,bR+,则 (1)ab=k,当且仅当a=b时,a+b有最 值 ; (2)a+b=p,当且仅当a=b时,ab有最 值 . 运用以上结论求最值,要注意以下三个问题:,小,大,考点分析,返回目录,(1)要求各数均为 ; (2)要求和或积为 ; (3)要注意是否具备 成立的条件. 2.不等式的解法及证法的基本应用: (1)求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题; (2)判断函数的单调性及其相应的单调区间; (3)利用不等式讨论方程的实根个数、分布范围和解含参数的方程；,等号,正数,定值,(4)将不等式同数学其他分支结合
2、起来，解决一些有实际应用价值的综合题. 3.解不等式应用问题的几个主要步骤: (1)审题,必要时画出示意图; (2)建模,建立不等式模型,即根据题意找出常量与变量的不等关系;注意文字语言、符号语言、图形语言的转换； (3)求解，利用不等式的有关知识解题.,返回目录,返回目录,若关于x的方程4x+a2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围.,【分析】换元后转化为一元二次方程在区间(0,+)上有实数解的问题，也可分离参数转化为函数求值域问题.,考点一 不等式在函数方程中的应用,题型分析,返回目录,【解析】解法一：令t=2x(t0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，问题转化为方程在(0,+)
3、上有实数解 0 a2-4(a+1)0 方程较大根大于0 0 a2-2 .,【评析】不等式在方程、函数中的应用，主要是利用不等式的解或者均值不等式求最值，或函数求最值.,返回目录,解法二：令t=2x(t0)，则原方程化为 t2+at+a+1=0，变形得 a= - =-(t-1)+ =-(t+1)+ -2-(2 -2) =2-2 .,对应演练,已知函数f（x）= (x0). (1)判断f(x)在(0,+)上的增减性,并证明你的结论; (2)解关于x的不等式f(x)0; (3)若f（x）+2x0在（0，+）上恒成立，求a有取 值范围.,返回目录,(1) f(x)在(0,+)上为减函数. 证明：设0f
4、(x2), f(x)在(0,+)上为减函数.,返回目录,（2）不等式f(x)0, 即 0,即 0, 整理成(x-2a)ax0时，不等式x(x-2a)0, 不等式解为x0或x0时，不等式解为(0,2a);当a0时，不等式解为(0,+).,返回目录,（3）若f(x)+2x0在(0,+)上恒成立， 即 +2x0. 2（x+ ）. 2（x+ ）的最小值为4， 4. 解得a0或a .,返回目录,返回目录,经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时) 之间的函数关系为 (v0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车
5、流量为多少（精确到0.1千辆/小时）？ (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？,【分析】直接对y求最大值即可.可对解析式中分子、分母同除以v，为运用均值不等式创造条件.,考点二 不等式在实际问题中的应用,返回目录,【解析】（1）依题意， 当且仅当v= ，即v=40时，上式等号成立， 所以ymax= 11.1(千辆/小时). （2）由条件得 , 整理得v2-89v+1 6000, 即（v-25）（v-64）0,解得25v64. 答：当v=40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平
6、均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.,返回目录,【评析】在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下4点:先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;在定义域内,求出函数的最值;正确写出答案.,返回目录,设计一幅宣传画,要求画面面积4 840cm2,画面的宽和高的比为(1),画面的上、下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？如果要使 ,那么为何值时，能使宣传画所用纸张最小？,对应演练,设高为xcm,则宽为xcm,依题意有 x2=4 840 cm2,则x= , 宣传
7、画所用纸张的总面积为,y=(x+16)（x+10）=x2+(16+10)x+160 =5 000+16 +10 =5 000+44（8 +5 ） 5 000+88 =6 760, 当且仅当8 =5 ,即= 时等号成立；,返回目录,当 时，上面解题过程中等号不可能成立，设g（）=8 +5 =8 ,显然函数在 ( ，即 ( 时单调递减，在 )时单调递增，当 时单调递增，即= 时取最小值.,返回目录,返回目录,已知点P(x,y)在曲线y= 上运动，作PM垂直x轴于M，则OPM(O为坐标原点)的周长的最小值为 .,【分析】根据题意，表示出周长，求其最值.,考点三 不等式在几何中的应用,【解析】如图，设
8、OMP的周长为l=|x|+ + 2+ ,当且仅当|x|= ，即x=1时取等号.,【评析】在用不等式解决几何问题时，首先要几何问题代数化，再用不等式的相关知识来解决.本题中用两次均值不等式，要注意等号是在|x|=1时同时取得.,返回目录,返回目录,对应演练,如图所示，设矩形ABCD（ABAD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于点P，设AB=x，求ADP的最大面积及相应的x值.,如题图所示，因为AB=x，所以AD=12-x. 又DP=PB,AP=AB-PB=AB-DP=x-DP. 由勾股定理得（12-x）2+DP2=（x-DP）2， 整理得DP=12- ，因此ADP的面积S=
9、 ADDP= （12-x）(12- )=108-(6x+ ). x0,6x+ 2 =72 . S=108-(6x+ )108-72 . 当且仅当6x= 时,即当x=6 时,S有最大值108-72,返回目录,已知函数f（x）= 的定义域为R，值 域为0,2，求m,n的值.,【分析】由函数定义域、值域转化为一元二次不等 式问题.,考点四 一元二次不等式的应用,返回目录,【解析】令y= ， 函数f（x）的定义域为R， 对任意实数xR,y0恒成立. 即mx2+8x+n0恒成立. 当m=0时，不等式化为8x-n,不可能恒成立. m0, =64-4mn0. 由y= 得 （m-y）x2+8x+（n-y）=0
10、.,返回目录,当m0时，必须有,返回目录,【评析】根据一元二次不等式（组）研究有关值域、最值等问题，0是常常用到的.,返回目录,某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0 x1），则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=（出厂价-投入成本）年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式？ （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？,
11、对应演练,返回目录,(1)由题意得 y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1 000(1+0.6x) (0 x1). 整理得y=-60 x2+20 x+200(0 x1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 y-(1.2-1)1 0000 -60 x2+20 x0 0 x1, 0 x1， 解不等式得0 x . 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足0 x .,即,返回目录,列方程或列不等式解应用题是各类应用题中的重点.有关不等式的应用问题，通常可分为两类：一类是根据题意建立不等关系式，然后通过解不等式使问题得到解决；另一类是根据题意建立相等关系式（或为函数关系式），然后利用基本不等式（或二次方程根的判别式等）求出最值.这两类问题的关键都在于正确理解题意，因此必须具备较强的阅读理解能力.,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,
