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1、学案5 不等式的应用,返回目录,1.利用基本不等式求最值: 若p,k为常数,且a,bR+,则 (1)ab=k,当且仅当a=b时,a+b有最 值 ; (2)a+b=p,当且仅当a=b时,ab有最 值 . 运用以上结论求最值,要注意以下三个问题:,小,大,考点分析,返回目录,(1)要求各数均为 ; (2)要求和或积为 ; (3)要注意是否具备 成立的条件. 2.不等式的解法及证法的基本应用: (1)求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题; (2)判断函数的单调性及其相应的单调区间; (3)利用不等式讨论方程的实根个数、分布范围和解含参数的方程;,等号,正数,定值,(4)将不等式同数学其他分支结合
2、起来,解决一些有实际应用价值的综合题. 3.解不等式应用问题的几个主要步骤: (1)审题,必要时画出示意图; (2)建模,建立不等式模型,即根据题意找出常量与变量的不等关系;注意文字语言、符号语言、图形语言的转换; (3)求解,利用不等式的有关知识解题.,返回目录,返回目录,若关于x的方程4x+a2x+a+1=0有实数解,求实数a的取值范围.,【分析】换元后转化为一元二次方程在区间(0,+)上有实数解的问题,也可分离参数转化为函数求值域问题.,考点一 不等式在函数方程中的应用,题型分析,返回目录,【解析】解法一:令t=2x(t0),则原方程化为t2+at+a+1=0,问题转化为方程在(0,+)
3、上有实数解 0 a2-4(a+1)0 方程较大根大于0 0 a2-2 .,【评析】不等式在方程、函数中的应用,主要是利用不等式的解或者均值不等式求最值,或函数求最值.,返回目录,解法二:令t=2x(t0),则原方程化为 t2+at+a+1=0,变形得 a= - =-(t-1)+ =-(t+1)+ -2-(2 -2) =2-2 .,对应演练,已知函数f(x)= (x0). (1)判断f(x)在(0,+)上的增减性,并证明你的结论; (2)解关于x的不等式f(x)0; (3)若f(x)+2x0在(0,+)上恒成立,求a有取 值范围.,返回目录,(1) f(x)在(0,+)上为减函数. 证明:设0f
4、(x2), f(x)在(0,+)上为减函数.,返回目录,(2)不等式f(x)0, 即 0,即 0, 整理成(x-2a)ax0时,不等式x(x-2a)0, 不等式解为x0或x0时,不等式解为(0,2a);当a0时,不等式解为(0,+).,返回目录,(3)若f(x)+2x0在(0,+)上恒成立, 即 +2x0. 2(x+ ). 2(x+ )的最小值为4, 4. 解得a0或a .,返回目录,返回目录,经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时) 之间的函数关系为 (v0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车
5、流量为多少(精确到0.1千辆/小时)? (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?,【分析】直接对y求最大值即可.可对解析式中分子、分母同除以v,为运用均值不等式创造条件.,考点二 不等式在实际问题中的应用,返回目录,【解析】(1)依题意, 当且仅当v= ,即v=40时,上式等号成立, 所以ymax= 11.1(千辆/小时). (2)由条件得 , 整理得v2-89v+1 6000, 即(v-25)(v-64)0,解得25v64. 答:当v=40千米/小时时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平
6、均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.,返回目录,【评析】在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下4点:先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;在定义域内,求出函数的最值;正确写出答案.,返回目录,设计一幅宣传画,要求画面面积4 840cm2,画面的宽和高的比为(1),画面的上、下各留8cm的空白,左右各留5cm的空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张最小?如果要使 ,那么为何值时,能使宣传画所用纸张最小?,对应演练,设高为xcm,则宽为xcm,依题意有 x2=4 840 cm2,则x= , 宣传
7、画所用纸张的总面积为,y=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160 =5 000+16 +10 =5 000+44(8 +5 ) 5 000+88 =6 760, 当且仅当8 =5 ,即= 时等号成立;,返回目录,当 时,上面解题过程中等号不可能成立,设g()=8 +5 =8 ,显然函数在 ( ,即 ( 时单调递减,在 )时单调递增,当 时单调递增,即= 时取最小值.,返回目录,返回目录,已知点P(x,y)在曲线y= 上运动,作PM垂直x轴于M,则OPM(O为坐标原点)的周长的最小值为 .,【分析】根据题意,表示出周长,求其最值.,考点三 不等式在几何中的应用,【解析】如图,设
8、OMP的周长为l=|x|+ + 2+ ,当且仅当|x|= ,即x=1时取等号.,【评析】在用不等式解决几何问题时,首先要几何问题代数化,再用不等式的相关知识来解决.本题中用两次均值不等式,要注意等号是在|x|=1时同时取得.,返回目录,返回目录,对应演练,如图所示,设矩形ABCD(ABAD)的周长为24,把它关于AC折起来,AB折过去后,交DC于点P,设AB=x,求ADP的最大面积及相应的x值.,如题图所示,因为AB=x,所以AD=12-x. 又DP=PB,AP=AB-PB=AB-DP=x-DP. 由勾股定理得(12-x)2+DP2=(x-DP)2, 整理得DP=12- ,因此ADP的面积S=
9、 ADDP= (12-x)(12- )=108-(6x+ ). x0,6x+ 2 =72 . S=108-(6x+ )108-72 . 当且仅当6x= 时,即当x=6 时,S有最大值108-72,返回目录,已知函数f(x)= 的定义域为R,值 域为0,2,求m,n的值.,【分析】由函数定义域、值域转化为一元二次不等 式问题.,考点四 一元二次不等式的应用,返回目录,【解析】令y= , 函数f(x)的定义域为R, 对任意实数xR,y0恒成立. 即mx2+8x+n0恒成立. 当m=0时,不等式化为8x-n,不可能恒成立. m0, =64-4mn0. 由y= 得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0
10、.,返回目录,当m0时,必须有,返回目录,【评析】根据一元二次不等式(组)研究有关值域、最值等问题,0是常常用到的.,返回目录,某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式? (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?,
11、对应演练,返回目录,(1)由题意得 y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1 000(1+0.6x) (0 x1). 整理得y=-60 x2+20 x+200(0 x1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 y-(1.2-1)1 0000 -60 x2+20 x0 0 x1, 0 x1, 解不等式得0 x . 答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足0 x .,即,返回目录,列方程或列不等式解应用题是各类应用题中的重点.有关不等式的应用问题,通常可分为两类:一类是根据题意建立不等关系式,然后通过解不等式使问题得到解决;另一类是根据题意建立相等关系式(或为函数关系式),然后利用基本不等式(或二次方程根的判别式等)求出最值.这两类问题的关键都在于正确理解题意,因此必须具备较强的阅读理解能力.,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步!,