《高考数学一轮复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系精品课件 新人教A版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系精品课件 新人教A版(44页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、8.3 空间点、直线、平面之间 的位置关系 要点梳理 1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的 在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内. 公理2:过 的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有 过该点的公共直线.,两点,不共线,一条,基础知识 自主学习,2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任 一点O作直线aa,bb,把a与b所成的 叫做异面直线a,b所成的角(或夹角). 范围: .,平行,相交,任何,锐角或直角,3.直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况. 4.平面
2、与平面的位置关系有 、 两种情况. 5.平行公理 平行于 的两条直线互相平行. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么 这两个角 .,平行,相交,在平面内,平行,相交,同一条直线,相等或互补,基础自测 1.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分成( ) A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 解析 如图所示,三个平面、两两相 交,交线分别是a、b、c且abc.则、 把空间分成7部分.,C,2.直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中两条 直线的平面的个数为( ) A.1 B.3 C.6 D.0 解析 以三棱柱为例,三条侧棱两两平行,但 不共面,显然
3、经过其中的两条直线的平面有3个.,B,3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 ( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 解析 如图所示,ab,c与d相交,a与d异面.,D,4.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方 体的十二条棱中共有异面直线( ) A.12对 B.24对 C.36对 D.48对 解析 如图所示,与AB异面的直线 有B1C1,CC1,A1D1,DD1四条, 因为各棱具有相同的位置且正方体 共有12条棱,排除两棱的重复计 算,共有异面直线,B,5.下列命题中不正确的是 . 没有公共点的两条直线是异面直线; 分别和两条异面直线都相交的两直线异面; 一条直线和两条
4、异面直线中的一条平行,则 它和另一条直线不可能平行; 一条直线和两条异面直线都相交,则它们可 以确定两个平面.,解析 没有公共点的两直线平行或异面,故错; 命题错,此时两直线有可能相交;命题正确, 因为若直线a和b异面,ca,则c与b不可能平行, 用反证法证明如下:若cb,又ca,则ab,这 与a,b异面矛盾,故c b;命题也正确,若c与两 异面直线a,b都相交,由公理3可知,a,c可能确定 一个平面,b,c也可确定一个平面,这样,a,b,c共确 定两个平面. 答案 ,题型一 平面的基本性质 如图所示,空间四边形ABCD 中,E、F、G分别在AB、BC、CD上, 且满足AEEB=CFFB=21
5、, CGGD=31,过E、F、G的平 面交AD于H,连接EH. (1)求AHHD; (2)求证:EH、FG、BD三线共点. 证明线共点的问题实质上是证明点在 线上的问题,其基本理论是把直线看作两平面 的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.,题型分类 深度剖析,(1)解 EFAC. EF平面ACD.而EF平面EFGH, 且平面EFGH平面ACD=GH, EFGH.而EFAC, ACGH. 即AHHD=31. (2)证明 EFGH,且 EFGH,四边形EFGH为梯形. 令EHFG=P,则PEH,而EH平面ABD, PFG,FG平面BCD,平面ABD平面BCD=BD, PBD.EH、FG、B
6、D三线共点.,所谓线共点问题就是证明三条或三条 以上的直线交于一点. (1)证明三线共点的依据是公理3. (2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于 一点,再证明第三条直线经过该点,把问题转化 为证明点在直线上的问题.实际上,点共线、线共 点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.,知能迁移1 如图所示,四边形ABEF和 ABCD都是直角梯形,BAD=FAB =90,BC AD,BE FA,G、H 分别为FA、FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么? (1)证明 由已知FG=GA,FH=HD, 可得GH AD.又BC AD,GH B
7、C, 四边形BCHG为平行四边形. (2)解 方法一 由BE AF,G为FA中点知, BE FG, 四边形BEFG为平行四边形,EFBG.,由(1)知BG CH,EFCH, EF与CH共面. 又DFH,C、D、F、E四点共面. 方法二 如图所示,延长FE, DC分别与AB交于点M,M, BE AF,B为MA中点. BC AD, B为MA中点, M与M重合,即FE与DC交于点M(M), C、D、F、E四点共面.,题型二 异面直线的判定 (12分)如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线?说明理由; (2)D1B和C
8、C1是否是异面直线?说明理由. (1)易证MNAC,AM与CN不异 面. (2)由图易判断D1B和CC1是异面直线,证明时 常用反证法.,解 (1)不是异面直线.理由: 连接MN、A1C1、AC. M、N分别是A1B1、B1C1的中点, MNA1C1. 又A1A C1C,A1ACC1为平行四边形. A1C1AC,MNAC, A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是 异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ABCDA1B1C1D1是正方体, B、C、C1、D1不共面.,3分,6分,假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面,使D1B平面,CC1平面, D1、B、C、C1,与ABCDA1B
9、1C1D1是正 方体矛盾. 假设不成立,即D1B与CC1是异面直线. 解决这类开放型问题常用的方法有直 接法(即由条件入手,经过推理、演算、变形等), 如第(1)问,还有假设法,特例法,有时证明两 直线异面用直接法较难说明问题,这时可用反证 法,即假设两直线共面,由这个假设出发,来推 证错误,从而否定假设,则两直线是异面的.,10分,12分,知能迁移2 (1)如图是一几何体的平面展开图, 其中四边形ABCD为正方形,E、F分别为PA、 PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: 直线BE与直线CF是异面直线; 直线BE与直线AF是异面直线; 直线EF平面PBC; 平面BCE平面PAD. 其中
10、正确结论的序号是( ) A. B. C. D. 解析 由EFADBC,知BE、CF共面, 错;正确;正确;错.故选B.,B,(2)如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分 别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论: 直线AM与CC1是相交直线; 直线AM与BN是平行直线; 直线BN与MB1是异面直线; 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为 (注:把你认为正确 的结论的序号都填上). 解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN 也是异面直线,故错误.,题型三 求异面直线所成的角 正方体ABCDA1B1C1D1中, (1)求AC与A1D所成角的大小; (2)若E、F分别
11、为AB、AD的中点,求A1C1与 EF所成角的大小. (1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所 成的角,再计算. (2)可证A1C1与EF垂直.,解 (1)如图所示,连接B1C, 由ABCDA1B1C1D1 是正方体, 易知A1DB1C,从而B1C与AC所成的锐角或直角 就是AC与A1D所成的角. AB1=AC=B1C,B1CA=60. 即A1D与AC所成角为60.,(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCD A1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1, E、F为AB、AD的中点, EFBD, EFAC. EFA1C1. 即A1C1与EF所成的角为90. 求异面直线所成的角常采用“平
12、移线 段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中 已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或 中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所 成的角通常放在三角形中进行.,知能迁移3 (2009全国理,7)已知三棱 柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在 底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB 与CC1所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 解析 方法一 如图(1),A1D 平面 ABC,且D为BC的中点,设三棱柱的各 棱长为1,则AD= ,由A1D 平面 ABC 知A1D= ,RtA1BD中,易求A1B=,图(1),CC1AA1,AB与AA1所成的角即为AB与C
13、C1所 成的角.在A1BA中,由余弦定理可知cosA1AB= AB与CC1所成的角的余弦值为 方法二 如图(2),建立空间直角坐标系,因 为A1D平面ABC,ADBC,由 AA1=1 知,图(2),答案 D,方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部 分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点 也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的 交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共 点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连 线和平面内不经过该
14、点B的直线是异面直线.,思想方法 感悟提高,(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证 明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通 过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题 来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直 线所成角的大小与顶点位置无关,往往将角的 顶点取在其中的一条直线上,特别地,可以取 其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或 异面线段的端点.总之,顶点的选择要与已知量 有关,以便于计算,具体步骤如下:,(1)利用定义构造角,可固定一条,平移另一 条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点 选在特殊的位置上; (2)证明作出的角即为所求角;
15、(3)利用三角形来求解. 失误与防范 1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线. 而不是分别在两个平面内.一定要理解定义. 2.求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成 角的范围是(0,90.,一、选择题 1.已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C,A、 B、C分别在PA、PB、PC上,若延长AB、 BC、AC与平面分别交于D、E、F三点,则 D、E、F三点 ( ) A.成钝角三角形 B.成锐角三角形 C.成直角三角形 D.在一条直线上 解析 D、E、F为已知平面与平面ABC 的公共点,由公理2知,D、E、F共线.,D,定时检测,2.关于直线和平面的四个命题中不正确的是( ) A.平
16、行于同一平面的两个平面一定平行 B.平行于同一直线的两条直线一定平行 C.垂直于同一直线的两条直线一定平行 D.垂直于同一平面的两条直线一定平行 解析 垂直于同一直线的两条直线不一定平 行,还可能相交或异面.,C,3.已知、是两个不同的平面,直线 ,直 线 ,命题p:a与b没有公共点,命题 q:,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a,b都平行于与的交线时,a与b无 公共点, 但与相交.当时,a与b一定无公共 点,qp,但p q.,B,4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则 ( ) A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 解析 对于选项A,若过点P有直线n与l,m都 平行