高考数学理一轮复习 9-7多面体和球精品课件

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1、第七节多面体和球,知识自主梳理,1.多面体与正多面体 (1)多面体: 叫做多面体 (2)凸多面体: ,这样的多面体叫做凸多面体,若干个平面多边形围成的几何体,把多面体的任何一个面伸展为平面,,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,(3)正多面体: ,叫做正多面体正多面体只有五种;即 、 、 、 、 (4)简单多面体: ,叫做简单多面体,棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单几何体,每个面都是有相同边数的正多边形,,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,正四面体,正六面体,正八面体,正十面体,正二十面体,表面经过连续变形能变为球面的多,面体,2球 (1)球面和球的概念 ,旋转所成的曲

2、面叫做球面,球面所转成的几何体叫做 ,简称 球可以看作 的集合(轨迹),半圆以它的直径为旋转轴,球体,球,与定点(球心)的距离等于或小于定长(半径),的所有点,(2)球的截面的性质 用一个平面去截球,截面是 ; 球心到截面圆心的连线 ; 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r,有下面的关系: . (3)球面距离: 叫做两点的球面距离 (4)球面面积S球面 ;球体积V球 .,圆面,垂直于截面,经过球面上两点的大圆的劣弧长,4R2,1计算或证明中要注意联系球的半径、截面圆的半径及球心到截面的距离三者的关系,重视球的截面(含球的切面)的性质 2注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆

3、上的弧长三者之间的区别与联系特别注意球面距离,其关键是求出球面上两点与球心的张角(用弧度制表示),常常是结合直观图综合运用三角知识求解.,重点 辨析,方法规律归纳,例1(2010济宁模拟)将边长为a的正方体的各个侧面上的中心连结起来可得到正八面体,求这个正八面体的体积(如图),分析正八面体没有现成的体积公式可用,因此可先将正八面体分割成两个相等的正四棱锥,进而利用正方体与正四棱锥图形的关系求出正四棱锥的体积,解如图所示,平面EFGH可将正八面体分成两个相等的正四棱锥,规律总结研究不规则几何体问题常用分割或补形的手段将它转化为规范的图形来解决,如转化为棱柱、棱锥等.,备选例题1已知一个凸多面体共

4、有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V_.,例2已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6和8,求这两个截面间的距离,规律总结球的问题一般都转化为圆的问题来解决.,备选例题2已知球的两个平行截面的面积分别为5和8,它于球心的同一侧且相距为1,那么这个球的半径是 () A4B3 C2 D5,答案:B,分析画示意图,搞清经度、纬度等概念,用求球面距离的一般步骤解决,答案B,规律总结(1)球面上两点间的球面距离,必须在球的过这两点的大圆中求这两点所对应的劣弧的长度,不能在过这两点的球的小圆中求 (2)地球的纬度实质上是线面所成的角,而经度则是两个经度所在的半平面所成的

5、二面角因此,解与经度和纬度有关的问题时,应分别转化为二面角与线面角的问题解决.,答案:A,例4球O的球面上有三点A,B,C,BC5 cm,BAC30,过A,B,C三点作球O的截面,球心到截面的距离为12 cm. (1)求截面的面积; (2)求球的表面积; (3)求球的体积 分析画示意图,求出小圆半径及球的半径,(2)球心到截面距离为12 cm,R2r2122,R212252132, R13, S球4R2676(cm2),规律总结解球的截面问题,关键是利用球的截面圆半径、球心到截面的距离、球半径三者之间的关系式建立等式 球的表面积和体积都是关于球半径的函数,因此要注意运用函数与方程的思想方法去处

6、理.,备选例题4(1)把长和宽分别是8 cm和6 cm的长方形ABCD沿对角线AC折成二面角BACD,使A、B、C、D四点在同一球面上,那么此球的表面积为_,解析:(1)取AC中点O,则OAOBOCOD5. 故O为球心,S球452100 cm2. 答案:(1)100 cm2(2)A,例5正三棱锥的高为1,底面边长为 内有一个球与它的四个面都相切(如图)求: (1)棱锥的全面积; (2)内切球的表面积与体积,分析(1)利用特征三角形求斜高即可; (2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径,(2)设正三棱锥PABC的内切球心为O,连结OP、OA、OB、OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为

7、球的半径r.,规律总结(1)解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的,(2)涉及到多面体的内切球的问题,不妨考虑运用公式V多 Pr(P为多面体的表面积,r为内切球的半径)该公式的推导只需将球心与多面体的各顶点相连,将多面体分成以多面体每一个为底面,球心为顶点的小棱锥(高为r),于是多面体的体积就等于这些小棱锥的体积之和.,解析:如图所示,由已知条件可知DO为正三棱锥的高,O为等边三角形ABC的中心,,答案:C,例1已知地球半径为

8、R,地球上有A、B两点,它们同在北纬60,B点在东经20,A点在西经40,求A、B两点的球面距离,解题思路如图,设A、B所在的纬线的圆心为O,连结OA,OB、AB、OA、OB,由题意AOB60,又A、B所在的纬度圆为北纬60,,错因分析空间想象力差找不到两点所对球心角而解题受阻,例2在棱长为a的正方体盒内装有五个球,其中四个是半径为r的等球,放在盒底四角,另一个大球半径为R,放在四个等球的上面若四个等球相等相邻两个外切,且还与正方体的侧面及下底面相切,而这个大球分别与这四个等球相切,且与上底面相切,试用a表示R、r.,错因分析解题的核心是:提炼球心构造正四棱锥,寻找R、a、r的数量关系便可求解由于部分学生能力差而做不到这一点而导致解题错误.,

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