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1、第五讲 函数的定义域与值域,回归课本 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 注意:(1)确定函数定义域的原则: 当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合; 当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合;,当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合; 当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定. (2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类: 如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; 如
2、果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域.,(3)复合函数定义域的求法: 若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出.,2.函数的值域 在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 注意:确定函数的值域的原则 当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合; 当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;,当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定; 当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际
3、意义确定.,考点陪练,答案:A,答案:C,3.函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为( ) A.-1,0,3 B.0,1,2,3 C.y|-1y3 D.y|0y3 答案:A,答案:B,5.函数y=f(x)的值域是-2,2,定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( ) A.-2,2 B.-4,0 C.0,4 D.-1,1 答案:A,类型一函数的定义域 解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式.,(2)确定函数的定义域 当
4、f(x)是整式时,其定义域为R. 当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合. 当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合. 对于x0,x不能为0,因为00无意义.,f(x)=tanx的定义域为 f(x)=logax(a0且a1)的定义域为x|x0. 由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析. 分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.,抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x(0,1)而非02x+11;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由02x+11得出x的范围即为所求.
5、,分析 只需要使解析式有意义,列不等式组求解.,类型二复合函数的定义域 解题准备:已知fg(x)的定义域为x(a,b),求f(x)的定义域,其方法是:利用axb,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定义域. 已知f(x)的定义域为x(a,b),求fg(x)的定义域,其方法是:利用ag(x)b,求得x的范围,此即为fg(x)的定义域. 定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性.所以在解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则,通过分析定义域来帮助解决问题.,【典例2】 (1)已知函数f(x)的定义域为0,1,求下列函数的定义域:f(x2); (2)已知函数flg(x+1)的定义域是
6、0,9,则函数f(2x)的定义域为_.,分析 根据复合函数定义域的含义求解. 解析 (1)f(x)的定义域是0,1, 要使f(x2)有意义,则必有0 x21, 解得-1x1. f(x2)的定义域为-1,1.,答案 1,4 (-,0,类型三求函数的值域 解题准备:求函数值域的总原则:由定义域对应法则f在等价条件下,巧妙地转化为与y有关的不等式.求值域问题技巧性强,要根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切相关,常可转化为求函数的最值问题.,分析 本题主要考查函数值域问题,考查运算能力数形转化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性
7、求解;对于(3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法求解.,反思感悟 第(1)小题利用换元法易忽视t0的条件,第(2)小题利用基本不等式时易漏掉对x0的讨论.,类型四定义域与值域的综合应用 解题准备:函数的定义域值域问题主要转化为方程或不等式解决,可求解相关参数或其它综合应用.,【典例4】 (2009广东六校联考)已知函数 若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域相同,求实数a的值. 分析 函数f(x)的定义域因a的取值不同而不同,因此应对a进行讨论.,反思感悟 对于函数g(x)=ax2+bx,由于a的取值不同,将影响到其值域,所以在研究其定义域值域时,应对a进
8、行讨论,对每一种情况分别进行讨论,求解.,错源一求函数值域不考虑定义域,剖析 错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价,所以出现错误.,评析 处理函数问题时,必须树立定义域优先考虑的意识.,错源二“定义域”“有意义”“恒成立”混矣!,剖析 本题的错误在于将函数f(x)的定义域为(-,1同函数f(x)在(-,1上有意义混淆了.事实上,f(x)的定义域为(-,1,说明f(x)在(-,1上且只在(-,1上有意义.,技法求函数值域的方法,方法与技巧 对于一些无理函数通过换元把它化成有理函数,然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出来.,二配方法 【典例2】 求二次函数y=x2
9、-5x+6(-3x2)的值域.,方法与技巧 对于含有二次三项式的有关题型,常常根据求解问题的要求,用配方法来解决.,三图象法(数形结合法),方法与技巧 y=ax2+bx+c(a0)中,若对x有限制,如限制x在区间m,n上时,也可结合图形去考虑,此时函数的图象是抛物线的一部分.,解 因为x2+x+10恒成立, 所以函数的定义域为R.由原式得 (y-2)x2+(y+1)x+y-2=0, 当y-2=0,即y=2时, 方程为3x=0,所以x=0R;,当y-20,即y2时,因为xR, 所以方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有实根, =(y+1)2-4(y-2)(y-2)0, 即3y2-18y+150,解得1y5. 所以函数的值域为1,5.,
