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1、9.23课堂回顾,数列: 研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;,收敛数列的性质:有界性唯一性，保号性， 包序性，夹逼性,求数列的极限: 极限运算法则,1.3.1 函数极限的概念,第三节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在着正数 ,使得对于适合不等式 的一切 , 所对应的函数值 都满足不等式, 那么常数 就叫函数 当 时的极限, 记作,2.另两种情形:,3.几何解释:,例1,证,例2 试证： 0 证：,二、自变量趋向有限值时函数的极限,定义2
2、如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式, 那么常数 就叫函数 当 时的极限,记作,2.几何解释:,注意：,证,例3,例4,证,函数在点x=2处没有定义.,例5,证,几点注意：,1 定义中的 相当于数列极限中的 ，它仅与 有关，但不是唯一确定。 2 定义中只考虑在 空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在 有无定义。 3 以上的定义可以用邻域的形式简单给出。,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,例5,解,左右极限存在且相等,左右极限存在但不相等,例6,证,函数极限与数列极限的关系(海涅定理),定理,注： 本定理有如下几点
3、注释： 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。,证,例7,证,二者不相等,第二节 函数极限的性质,六种极限,一 函数极限的性质,2.局部有界性,1.唯一性,定理,3.局部保号性,4.局部保不等性,定理,5.夹逼准则,本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极限的方法。,6、极限运算法则,二、求极限方法举例,例8,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例9,解,例10,(消去零因子法),例11,解,小结:,小结,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,作业,P56 习题1.3 10、 3） 4） 12、 1）、2）、3）、6）、8）,
