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1、4.5 热学问题,浇注混凝土的温度控制不当会产生裂缝.所以要研究散热情况及温度分布热传导问题数学模型. 物理定律： (1) 热量与质量及温度成正比. (2) Fourier定律.通过一曲面的热流变化率与曲面面积和函数（外）法向导数（温度梯度）成正比. 其中 为热流强度. 热传导方程：,高温,低温,其中 热流密度.(上式为分布参数系统-抛物型PDE) 三种边界条件（自学） 1. 第一边界条件 2. 第二边界条件 3.第三边界条件（ 为周围的介质温度）,4.6 扩散问题,物质由浓度高向浓度低的地方传播成为扩散.如气体扩散、液体渗透、半导体材料的杂质扩散. 海洋污染物的扩散等. 大气污染的扩散数学模
2、型 这些模型是抛物型方程描述的分布参数系统,4.7 医学问题,模型六、传染病动力学模型 传染病动力学这一说法是借用物理学中的动力学.是研究在传染病作用下各种人（感染者类（I）Infection；易受感染者类（S）Sesceptible；不受感染者类（R）Residue ）的人数变化规律.,I模型：病人人数呈指数增长.不合实际. IS模型：在预测传染高峰方面，效果很好. ISR模型：比较全面地研究三种人人数的变化， 通过 的相图，得到了现在采用的控 制传染病的方法和原则的数学解释，并能使人们走 出对传染病看法的误区. 要求学生： 1.清楚相图，了解轨线的方位与走向， 2.明确由相图得到的几条重要
3、解释. 3.了解Kermack,Mekendrick的阈值定理.,.I模型： 假设：A1）每个病人在单位时间内传染的人数为 ； A2）一人得病后，经久不愈，他在传染期内不会死亡. 设 时的病人数为 ， 则在 时间内增加的病人数为 所以得 解之得,此结果表明：病人人数按指数规律增长，这与实 际不符.因为，一个地区的总人数大致可视为常 数. 在传染病传播期间，一个病人在单位时间内传染 的人数为 是变化的，刚开始 大，随着病人增多健 康者减少，被传染机会也将减少，所以 就变小，因 此，模型I 的假设要修改. IS模型. 记 时刻不受感染者的人数为 ，当人数不变时， 应随 的减少而变小. 假设：1）总
4、人数为常数 ， 2）单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，设比例 系数为 （传染指数）,所以有 解之得 显然当 其含义为比较长时间之后，人群的全体均会受到感 染，其实这种观点是错误的.但是预测传染高峰期还 是有参考价值的.,模型. ISR模型 将人群分为三类： I传染者类 S易受传染者类 R不受感染者（免疫或已死亡）类 假设：1）总人数为 2）同模型假设2) 3)单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为 （恢复系数） ,因方程中，两式与可独立求解 得,找到第一，二类人变化的关系，画出轨线，从相图 上看两种人的变化，IS平面上的曲线区域: 1.研究曲线状态： .
5、最大值点（，s()） 升、降区间； (0, )区间上曲线穿过s 轴. 2.各段曲线的传染过程: 当 传染, 当 不会传染 （为什么？） 3.感染者初始人数与比较，对传染的影响有多大？ 曲线在小于处与 s轴相交，,故知在 内必有一点，曲线由上半平面 穿过s轴，进入下半平面. 从相图的走向得到结论： 若初始点 的横坐标 在阈值之外 则到曲线 上升的方向前进，到达最高点 ，再下降.直到曲线 与 轴相交.交点在 之间. 传染病增加传染病被控制传染病清除 感染者增加 感染者减少 感染者为零,t,0,I,从轨线的走向可得以下几个结论: 1.当易手感染者 (s)的人数大于 时，传染情况是处于传染病暴发阶段
6、2.当s 时，传染病处于被控制阶段. 3.传染病清除是在没有感染者情况下出现的，而不是没有易受感染者出现的（上亿年来，人类和动物出现过若干次大的瘟疫，都没有灭绝，这就是原因） 门槛值 的大小与传染病的暴发和控制有直接关系，对于 某个城市中的传染病来说，若 充分大.大于该城市的人口，则 此传染病必被控制. 增大 的方法 : 1. 减少感染系数k ， k与传染病非常有关，但卫生工作应加强；如消毒，预防注射 等，减少感染机会. 2. 增大恢复系数l，治疗能力加大（药的效果好，治疗及时）.,在增大 的同时，减少易受感染者的人数（使s 减 少）.传染病发生后，把人隔离起来，在群体中使 s的 人数达到最小
7、. 当前我们常用的措施：预防、消毒、注射、隔离、 治疗.完全符合传染病的发展规律. 学习模型之后，能使我们以后在更高的地位上，理 解这一措施. 槛值定理：如果传染初期 与相比较小，即 较小，则传染进程中会出现这一现象： 即到传染病清除时，被传染人数为 . 定理（Kermacl Mckendrick,1927）若 比 较小（即 很小）且初始时刻 较小，则此 时传染病的最终传染人数为 .,即开始时受传染者的人数比 多多少，最终易受感染者的人数就比 少多少. 证明,0,S,I,显然，这也就是传染病传染的人数，于是由(E)知 （1）对同一地区，同一传染病的人数大体上是个常数 ， 此结论与统计结果一致. （2）当恢复系数 变大，传染率 会变小时. 变 大.指定 变小，从而传染病传染的人数 也就减小. （3）由于 可视为总人数，所以传染病传染的人数是 以上人数 的两倍. 在传染病学上称为阈值.,作业： 1.在传染病发展过程中，有方程 （1）求方程的轨线， （2）当疾病被消灭后，还剩下易受感染者么？,问题10 利用微分方程建模法，给出某种流行病（如：非典型肺炎、禽流感等）的数学模型。,
