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1、 数学竞赛讲义 目录第一章 集合2第二章 函数152.1 函数及其性质152.2 二次函数 212.3 函数迭代 282.4 抽象函数 32第三章 数列373.1 等差数列与等比数列373.2 递归数列通项公式的求法 443.3 递推法解题48第四章 三角 平面向量 复数51第五章 直线、圆、圆锥曲线60第六章 空间向量 简单几何体68第七章 二项式定理与多项式75第八章 联赛二试选讲 828.1 平几名定理、名题与竞赛题 828.2 数学归纳法 998.3 排序不等式 103第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合
2、思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.1.1 集合的概念与运算【基础知识】一集合的有关概念1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3集合的分类：无限集、有限集、空集.4. 集合间的关系：二集合的运算1交集、并集、补集和差集差集：记A、B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构
3、成的集合记作.即且.2.集合的运算性质(1),(幂等律);(2), (交换律);(3), (结合律);(4),(分配律);(5),(吸收律);(6)(对合律);(7), (摩根律)(8),.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .分析已知的所有的子集共有个.而对
4、于,显然中包含的子集与集合的子集个数相等.这就说明在集合的所有子集中一共出现次,即对所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和为=说明本题的关键在于得出中包含的子集与集合的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合且,求参数的取值范围.分析首先确定集合A、B,再利用的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得当时,由知无解;当时,显然无解; 当时, ,由解得综上知,参数的取值范围是.说明本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知,集合.若,则的值是( )A.5 B.
5、4 C.25 D.10【解】,且及集合中元素的互异性知,即,此时应有而,从而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也满足(1)式.说明本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合.若,求+的值.分析从集合A=B的关系入手,则易于解决.【解】,根据元素的互异性,由B知.且,故只有,从而又由及,得所以或,其中与元素的互异性矛盾!所以代入得:+=()+2+()+2+()+2=0.说明本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的
6、必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A为有限集,且,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A. 【解】设集合A=且,由,得,即或(事实上,当时,有.当时,而当时,由,解得综上可知,说明本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合,若,求实数的取值组成的集合A.【解】,设.当,即时,满足;当,即或时, 若,则,不满足,故舍去; 若时,则,满足.当时,满足等价于方程的根介于1和2之间.即.综合
7、得,即所求集合A.说明先讨论特殊情形(S=),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对分类讨论,确定的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集 R, R. 若 , 则 的取值范围是【解】由题意知 是以原点为焦点、直线 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， 是以 为中心的正方形及其内部的点集(如图)考察 时, 的取值范围:令 , 代入方程 ,得 ，解出得 所以，当 时, 令 ，代入方程 , 得 . 解出得所以，当 时, 因此, 综合 与 可知，当 ，即 时, 故填 .【例8】已知集合,其中,.若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.【解】,且,
8、又,所以又,可得,并且或若,即,则有解得或(舍)此时有若,即,此时应有,则中的所有元素之和为100124.不合题意.综上可得, 说明本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件的函数形成了一个集合M,其中,并且,求函数与集合M的关系.分析求函数集合M的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性.【解】取时, 由此可见,说明本题中M是一个关于函数的集合.判断一个函数是否属于M,只要找至一个或几个特殊
9、的使得不符合M中的条件即可证明【例10】对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如的“交替和”是,集合的“交替和”是107=3,集合的“交替和”是5等等.试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合求出所有的“交替和”.分析集合A的非空子集共有个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如1,2,3,4的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:1 1;2 2 ;3 3;4 4;1,2 2-1; 1,3 3-1;1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,
10、4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4 4-2+1;1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除4以外,可以把1,2,3,4的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设是1,2,3,4中一个不含有的子集,令与相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上4的“交替和”为4,即1,2,3.4的所有子集的“交替和”为32.【解】集合的子集中,除了集合,还有个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果是
11、第二类的,则必有是第一类的集合;如果是第一类中的集合,则中除2008外,还应用1,2,2007中的数做其元素,即中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A的所有子集的“交替和”为同样可以分析,因为个元素集合的子集总数为个(含,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素的子集有个,不包括的子集的个数也是个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素),设不含的子集“交替和”为S,则对应的含子集的“交替和”为,两者相加和为.故所有子集的“交替和”为说明本题中退到最简,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学
12、竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？分析已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.被4、3、2除时都余地，即是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为，则由题意知分别被4、3、2除时均余1，即是4、3、2的公倍
13、数，于是可令，由此可得： 要使游行队伍人数最少，则式中的应为最少正整数且为5的倍数，应为2.于是可令，由此可得：， 所以，.取代入式，得故游行队伍的人数最少是1045人.说明本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设且15，都是1，2，3，真子集，且=1，2，3，.证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，1，2，3，的任何元素必属于且只属于它的真子集之一. 假设结论不真，则存在如题设的1，2，3，的真子集，使得无论是还是中的任两个不同的数的和都不是完全平方数. 不妨设1，则3，否则1+3=，与假设矛盾，所以3.同样6，所以6，这时10，即10.因15，而15或者在中，或者在中，但当15时，因1，1+15=，矛盾；当15时，因10，于是有10+15=，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学
