高考数学黄金30题专题04大题好拿分（提升版）理

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1、专题04 大题好拿分（提升版）理1设函数() 求的单调增区间；() 已知的内角分别为，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最小值.【答案】() ；()6.试题解析：() .的单调增区间为.() ，所以.或（舍），当且仅当时， 的最小值为.令也可以这样转化： 代入；或（舍）； ，当且仅当时， 的最小值为.2设向量，函数.（1）求在上的值域；（2）已知，先将的图象向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后再把得到的图象向上平移个单位长度，得到的图象，已知的部分图象如图所示，求 的值.【答案】（1）；（2）2.试题解析:（1）因为 ，因为，所以，所以，所以.所以.

2、【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，函数 的图象变换规律等问题其中（2）解题的关键是根据图像得到3已知数列满足， .（1）是否能找到一个定义在的函数（是常数）使得数列是公比为3的等比数列，若存在，求出的通项公式；若不存在，说明理由；（2）记，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由可得，结合，对应项系数相等列不等式组求解即可；（2）先利用分组求和法求得，化简可得， ， .（2） ，由，得.设，则 ，当时， 时， .容易验证，当时， ，的取值范围为.4已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且， （1）求数列的

3、通项公式；（2）数列满足， .求数列的通项公式；是否存在正整数， （），使得， ， 成等差数列？若存在，求出， 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) ；存在正整数， ，使得， ， 成等差数列.试题解析：（1）设数列的公差为，则由， ，得解得或（舍去）所以（2）因为， ，所以，即， ， ，（ ）累加得，所以，也符合上式，故， 假设存在正整数、（），使得， ， 成等差数列，则又， ， ，所以 ，即，化简得： ，当，即时， （舍去）；当，即时， 符合题意所以存在正整数， ，使得， ， 成等差数列5为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中

4、学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为，求的分布列和数学期望【答案】（1）15（2）见解析（2）因

5、为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数服从二项分布，所以分布列为所以的数序期望.6某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概

6、率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？【答案】（1）分布列为：（2）【解析】试题分析：（1）由题意知的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列（2）当时， ， ；当时， ；当时， ；当时， 从而得到当时， 最大值为520元试题解析：(1）易知需求量可取200，300,500， ， ，则分布列为：综上所述，当时，取到最大值为5207某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资

7、料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：， ， ， ）（1）16号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求的值，并估计的预报值.（2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的， 的值（， 精确到0.01）相比于（1）中的， ，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意

8、勘探4口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.【答案】（1）， 的预报值为24；（2）使用位置最接近的已有旧井；（3），分布列见解析.（3）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X=k）=，可得X的分布列及其数学期望解：（1）因为， .回归直线必过样本中心点，则.故回归直线方程为，当时， ，即的预报值为24.（2）因为， ， ， ，所以 ，即， ， ， .， ，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井.（3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，所以勘察优质井数的可能取值为2，3，4， ，.X

9、234P8如图所示，三棱柱中，已知侧面， ， ， .（1）求证： 平面；（2）是棱上的一点，若二面角的正弦值为，求线段的长.【答案】()证明见解析；()2或3.【解析】试题分析：（）证明ABBC1，在CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BCBC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B平面ABC（）通过AB，BC，BC1两两垂直以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出的方程，求解即可由可以知道， ， ，两两垂直，以为原点， ， ，所在直线为， ， 轴建立空间直角坐标系.则，

10、 ， ， ， ， ， .令， .设平面的一个法向量为，令，则， ，平面，是平面的一个法向量，两边平方并化简得，所以或.或.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，本题利用了余弦定理，求边长，再利用勾股定理得到线线垂直，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.9（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥，底面为菱形，, 平面， 分别是的中点。（1）证明： ；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。【答案】（1）详见解析（

11、2）【解析】试题分析：(1)由已知条件推导出， ，由线面垂直得，由此证明(2)设为上任意一点，连接、，由平面，得为与平面所成的角，过作于，连接，由已知条件得为二面角的平面角，由此求出二面角的余弦值.（2）设为上任意一点，连接、由（1）知， 则为与平面所成的角，在中， ,所以当最短时， 最大，即当时， 最大，此时,此时，又，所以 =45，于是因为平面， 平面，所以平面平面，过作于，则由面面垂直的性质定理可知: 平面,所以，过过作于，连接， 平面，所以,则为二面角的平面角，在中， ， 又是的中点， ,且10如图，四棱锥的底面是正方形， 底面， ，点分别在棱上，且平面.（1）求证： ；（2）求直线与

12、平面所成角的正弦值.（3）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直性质定理得，再由，以及线面垂直判定定理得平面，即得，由平面，有，再由线面垂直判定定理得平面，即得；（2）因为平面，所以为在平面内的射影，延长交于点，则为（即）与平面所成的角，解直角三角形得线面角正弦值.（3）以空间向量求角二面角，先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，由向量数量积得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与两法向量关系得结果（2）如图，延长交于点，因为平面，所以为在平面内的射影，故为（即）与平面所成的角，又因为， ，则有，在中， ，故与平面所成角的正弦值

13、为.（3）分别以为轴建立空间直角坐标系， ， 所以， ，设平面的法向量，那么，令，则，由（1）知，平面的法向量，设所求二面角的大小为，且为锐角，所以，所以二面角的余弦值为.11如图，已知为椭圆： 的右焦点， ， ， 为椭圆的下、上、右三个顶点， 与的面积之比为.（1）求椭圆的标准方程；（2）试探究在椭圆上是否存在不同于点， 的一点满足下列条件：点在轴上的投影为， 的中点为，直线交直线于点， 的中点为，且的面积为.若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标.【答案】(1) .(2)存在满足条件的点，其坐标为.试题解析：（1）由已知得.又，椭圆的标准方程为.令，得.又，则，.直线的方程为，即，点到

14、直线的距离为，解得，又，存在满足条件的点，其坐标为.点睛：解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在12如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.求椭圆的方程； 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记， ， 的斜率为， ， .问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】() ；()存在常数符合题意.设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=， ，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x01），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值由题意可设的斜率为，则直线的方程为