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1、第二章 圆锥曲线与方程1椭圆的定义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明1求最值例1线段|AB|4，|PA|PB|6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是()A2 B.C. D5解析由于|PA|PB|64|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a3，c2，b.于是PM的长度的最小值是b.答案C2求动点坐标例2椭圆1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是_解析设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a10，
2、所以|PF1|PF2|2225，当且仅当|PF1|PF2|时取等号由解得|PF1|PF2|5a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为P(3,0)答案(3,0)点评由椭圆的定义可得“|PF1|PF2|10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标3求焦点三角形面积例3如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积解由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120
3、，即|PF2|2|PF1|242|PF1|，由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.将代入，得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是.点评在PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.2解抛物线问题的五个技巧1设而不求，整体处理例1已知抛物线y28x的弦PQ被点A(1,1)平分，求弦PQ所在的直线方程解设弦PQ的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有y8x
4、1，y8x2.两式相减，得yy8(x1x2)，即(y1y2)(y1y2)8(x1x2)A是PQ的中点，y1y22，即y1y24(x1x2)4，kPQ4.故弦PQ所在的直线的方程为y14(x1)，即4xy30.2巧用定义求最值例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2x上移动，记AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离解如图，AAl，MNl，BBl，l为抛物线y2x的准线，由抛物线方程y2x，知2p1，.设点M到y轴的距离为d，d|MN|.由抛物线的定义，知|AF|AA|，|BF|BB|.因为AA，BB，MN都垂直于准线，所以AAMNBB，所以MN是梯形AABB的中位线于是|MN|(|AA|BB
5、|)(|AF|BF|)若AB不过焦点，则由三角形的性质，得|AF|BF|AB|；若AB过焦点F，则|MN|(|AF|BF|)|AB|.所以当AB过F时|MN|最小，此时d也最小，d|MN|.故点M到y轴的最短距离为.3巧设抛物线的方程例3抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且被直线yx1所截得的弦长为，求此抛物线的方程解设抛物线的方程为y2ax(a0)，则有消去y，整理得x2(2a)x10.设所截得的弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个实根由根与系数的关系，得x1x2a2，x1x21.由弦长公式，知，即，解得a1或a5.所以所求抛物线的方程为y2x或y2
6、5x.4巧设弦所在的直线的方程例4过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2p2.证明当直线的斜率为0时，直线不会与抛物线有两个交点因为抛物线的焦点为，所以可设过焦点的直线方程为xmy，即xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得y1y2p2.5巧设抛物线上的点的坐标例5如图，过抛物线y22px(p0)上一定点P(P在x轴上方)作两条直线分别交抛物线于A，B两点当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB的斜率是非零常数证明设P，A，B，由kPAkPB，得.整理，得y1y22y0.kAB(y00)所以
7、直线AB的斜率是非零常数3巧用抛物线的焦点弦如图所示，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，过A、M、B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则有以下重要结论：(1)以AB为直径的圆必与准线相切；(2)|AB|2(x0)(焦点弦长与中点坐标的关系)；(3)|AB|x1x2p；(4)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2；(5)A1FB1F；(6)A、O、B1三点共线；(7).证明当直线AB的斜率不存在，即与x轴垂直时，|FA|FB|p，.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方
8、程为yk，并代入y22px，22px，即k2x2p(2k2)x0.设A(xA，yA)、B(xB，yB)，则xAxB，xAxB.|FA|xA，|FB|xB，|FA|FB|xAxBp，|FA|FB|xAxB(xAxB)(xAxBp)|FA|FB|FA|FB|，即.点评该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视ABx轴的情况例设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.答案64解析几何中的定值与最值问题解
9、法辨析1定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口例1已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，与a(3，1)共线设M为椭圆上任意一点，且 (，R)，求证：22为定值证明M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则，此时1，0，221，现在需要证明22为定值1.设椭圆方程为1 (ab0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的
10、中点为N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0.直线ON的方向向量为，a，.a23b2，椭圆方程为x23y23b2，又直线方程为yxc.联立得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又设M(x，y)，则由，得代入椭圆方程整理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22为定值例2已知抛物线y22px (p0)上有两个动点A、B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列求证：线段AB的垂直平分线经过定点(x0
11、p,0)证明设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义，知|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0.因为|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，所以2|MF|AF|BF|，即x0.设AB的中点为(x0，t)，t.则kAB.所以线段AB的垂直平分线方程为yt(xx0)，即tx(x0p)py0.所以线段AB的垂直平分线过定点(x0p,0)2最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解，非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角
12、有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值例3已知F是双曲线1的左焦点，A(2,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析设右焦点为F，由题意可知F坐标为(5,0)，根据双曲线的定义，|PF|PF|6，|PF|PA|6|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最小即可，|PF|PA|最小需P、F、A三点共线，最小值即6|FA|611.答案11点评“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法例4已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为(2)如图，由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x22，x1x21.因为l1l2，所以l2的斜率为.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
