《高中数学第2章推理与证明2.2.2间接证明学案苏教版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第2章推理与证明2.2.2间接证明学案苏教版选修1-2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、22.2间接证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点间接证明著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考王戎的论述运用了什么论证方法？1间接证明(1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明(2)常用方法：反证法2反证法(1
2、)基本过程：反证法证明时，要从_开始，经过_，导致_，从而达到_(即肯定原命题)(2)证题步骤：反设假设_不成立，即假定原结论的反面为真归谬从_和_出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由_，断定_不真，从而肯定原结论成立类型一用反证法证明“否(肯)定式”命题例1已知函数f(x)ax(a1)用反证法证明方程f(x)0没有负数根反思与感悟(1)对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情
3、况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立(3)常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在跟踪训练1已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列类型二用反证法证明“唯一性”命题例2求证：方程2x3有且只有一个根反思与感悟(1)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明(2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有
4、的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立跟踪训练2已知a与b是异面直线，求证：过直线a且平行于直线b的平面只有一个类型三用反证法证明“至多、至少”问题例3已知x，y0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.反思与感悟(1)用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误(2)用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q跟
5、踪训练3设a、b、c都是小于1的正数，求证(1a)b、(1b)c、(1c)a三个数不可能同时大于.1用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设_2设x、y、z0，则三数x，y，z的值_都大于2；都不小于2；至少有一个不小于2；至少有一个不大于2.3用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为_4证明：方程2x3有且仅有一个实根1反证法证明的3个步骤：(1) 反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2) 归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3) 存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立2反证法与逆否命题
6、区别：反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾因此，反证法与证明逆否命题是不同的提醒：完成作业2.2.2答案精析问题导学知识点思考实质运用反证法的思想2(1)否定结论正确推理逻辑矛盾新的否定(2)命题的结论反设已知条件矛盾结果反设题型探究例1证明假设x0为方程f(x)0的负数根，则有ax00，即ax01，显然x01.(1)当1x00时，0x011，3，12.而ax01，矛盾，即不存在1x00的解(2)当x01时，x010，0，10，矛盾，即不存在x00，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾；如果b1b20，则2b1b2矛盾，因此假设不成立所以(1a)b、(1b)c、(1c)a三个数不可能同时大于.达标检测1至少有两个钝角2解析假设三个数都小于2，则(x)(y)(z)6，而(x)(y)(z)(x)(y)(z)6，矛盾，故正确3a，b，c中至少有一个偶数解析a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”4证明2x3，x，方程2x3至少有一个实根设x1，x2是方程2x3的两个不同实根，则由得2(x1x2)0，x1x2，这与x1x2矛盾方程2x3有且仅有一个实根成立
