第一章第一章 极极 限限 数学分析以极限为工具，以函数为研究对象，主要研究函数的连续性、可微性和可积 性，及其相关问题和应用 极限理论是分析的基础，是分析中难点之一，其中心问题有两个：极限的存在性和极限 的计算，两者是密切相关的本章通过若干例题，总结了求解数列极限和函数极限的常用方 法. 基本概念和主要结果基本概念和主要结果 一一 数列极限数列极限 1 定义定义 设为数列，为定数. 若 n aa0, 0N，使得当时有 Nn ，邻域),(aU之外至多含有数列 中的有限项. n a 3 性质性质 性质性质 1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的 性质性质 2（有界性） 收敛数列必有界 性质性质 3（保号性） 若0lim= aan n ，则0N，当时，有. Nn 0 n a 性质性质 4（保不等式性）设与均为数列. 若存在正数，使得当时有 ，则 n a n b 0 N 0 Nn nn ba n n n n ba limlim. 性质性质 5 改变数列的有限项不改变数列的敛散性，且不改变收敛数列的极限 性质性质 6（迫敛性） 设收敛数列与 n a n b均以 a 为极限，数列 n c满足：，当 时，有 0N Nn nnn bca，则数列收敛，且 n cacn n = lim. 性质性质 7（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是： n a, 0, 0N 当Nmn, 1 时有= Axf xx 当<< 0 0 xx时，有= + Axf xx 当<< 0 0 xx时，有= Axf xx 当0 0 <
如数列 ??,,, 2, 2, 1, 1nn . 注注 2 若不限制方法，用 Stolz 定理最简单. 6 思考题思考题 1（北京工业大学 2003） 若 且, 1, 0nanaan n = lim，则 aaaa n n n = ? 21 lim. 提示提示：当时直接用定义证明，当时取对数化为例 1 0=a0a 思考题思考题 2（华南理工大学 2001）设.lim, 1, 0+= n n n ana 用定义证明： .lim 21 += n n n aaa? 思考题思考题 3（北方交通大学 2003，江西师范大学） 若 且极限, 1, 0nan n n n a a 1 lim + 存 在，则 n n n n n n a a a 1 limlim + =. 提示提示：n n n n n a a a a a a a 1 2 3 1 2+ =?. 例例 2（首都师范大学）设是一数列，试证：若 n aA n aaa n n = ++ ? 21 lim（有限）， 则0lim= n an n . 证证 由于 n n n aaa n aaa n a nnn 1 1 12121 +++ +++ = ?? ， 所以 0lim= n an n . 例例 3（广西师范大学 2000，东北师范大学）若aan n = lim，，且) ,, 2, 1(0?=kpk 0lim 1 = ++ n n n pp p ? ，则 a ppp apapap n nnn n = +++ +++ ? ? 21 1121 lim. 证证 由aan n = lim知：0M，有MaanN，当时， 有 1 Nn 7 ，当时，有 2 Nn 11 Npp p n n )( 1 11 11 11 aapaap pp a pp apap nn nn nn ++ ++ ++ ++ ? ?? ? )1 ()( 111 1 1 1 1 11 M pp p pp p M pp pp n n Nn Nn n Nn +< + + + + + + N，当时有 Nn 3 ++=++aaaxaaxx nnn ， 所以，当时，有 Nn 2323233 3 2 3 3 3 )(3 4 )( 3 4 )()(a ax aaaxx ax ax n nn n n nxn，且axn n = lim，用“N”语 言证明： 8 axn n = lim. 思考题思考题 5（北京大学 1994）设)()(lim 0 += Axf xx ，则 .)(lim 0 Axf xx = 思考题思考题 7（山东大学）用“N”定义证明：11lim=+ n n n. 提示：提示：令,11tn n =+则，且当时，有 0t2n 22 2 ) 1( 2 ) 1( 1)1 (1t nn t nn nttn n +++=+， 解得 1 4 ) 1( 4 ) 1( ) 1(2 + nnn n nn n t. 思考题思考题 8（清华大学 2000）用定义证明： 1 11 lim 1 = x x . 思考题思考题 9（清华大学 2001）设aan n = lim， 0lim= bbn n ，用定义证明： b a b a n n n = lim. 思考题思考题 10（华东师大 1998）用定义验证：. 2 3 12 23 lim 2 2 = ++ + nn n n 例例 5 (四川大学，国防科技大学) 设实数列 n x满足条件：)(0 2 nxx nn . 证明： 0lim 1 = n xx nn n . 证证 由)(0 2 nxx nn 得：0, 0 1 N,当时，有 1 Nn 2 2 N，当时，有 2 Nn 2 1 =+，当充分大时，有 n 222 1212 ) 12 ( n i a n i a n i f < ，?, 2, 1=i 则命题成立。
要证上式成立，只要证明：当充分大时，有 n a a n i a n i f 当<< x0时，有 ax xf < .,, 2, 1, 12 0 2 nia n i ?=< < 从而所证之式成立. 注注（1）拟合法的实质就是将实数 1 作适当分解. 数学中采用拟合法解决了不少重大问 题； （2）本例极限中的函数可替换成与)(xfx等价的无穷小量，从而得到不同形式的极 限，应予以注意. 例例 7 证明： （1） 2 1 2 2 ) 12 1 (lim a n i n ea n i = + = ； （2） 2 1 2 4 12 coslim a n i n ea n i = = . 提示提示：（1）两边取对数得 2 1 2 2 ) 12 1ln(limaa n i n i n = + = . 已知，由上例立明. )0()1ln(+xxx （2）两边取对数得 2 ) 12 ln(coslim 4 1 2 a a n i n i n = = . 而 . 12 2 1 2 12 sin2 ) 2 12 sin21ln( )) 12 cos1 (1ln() 12 ln(cos 2 2 22 22 22 a n i a n i a n i a n i a n i = = 由例 4 立明. 11 3. 初等方法初等方法 用初等数学的方法首先将数列通项进行恒等变形，然后求极限. 例例 8 计算下列极限： （1）)0( 2 cos 2 cos 2 cos 2 =x xxx x n n ?；（中科院） （2） n n n x 2 2 2 12 16 17 4 5 2 3+ =?； （3） =++ = n i n i x 1 333 21 1 ? ； （4） = ++ = n i n iii x 1 )2)(1( 1 ； （5）)。