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1、1 有的题目公式用错或者算错有的题目公式用错或者算错 请只看解题过程请只看解题过程 第一章第一章 1-10 已知一点的应力状态MPa，试求该应力空间中的斜截面上的正10 1000 155 20 ij 122zyx 应力和切应力为多少？ n n 解：若平面方程为 Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为： ， 222 CBA A l 222 CBA B m 222 CBA C n 因此：，； 3 1 2)(-21 1 222 l 3 2 2)(-21 2- 222 m 3 2 2)(-21 2 n 222 Sxx lxy mxz n= 3 100 3 2 50 3 1 200 Syxy ly mz
2、y n = 3 350 3 2 150 3 1 50 Szxz lyz mz n= 3 200 3 2 100 111 9 1000 3 2 3 200 3 2 3 350 3 1 3 100 SSS nml zyx 12500 3 200 3 350 3 100 222 2222 zyx SSSS 4 .13 9 1000 12500 2 1-11 已知 OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12） ，其应力张量为：，求出主 103020 5040 100 ij 应力，应力偏量及球张量，八面体应力。 解：=100+50-10=140 1 J zyx =10050+50（-10）+
3、100（-10）-402-(-20)2-302 2 J 222 xyxzyzyxzxzy 2 =600 = =-192000 3 J 321 222 2 xyzxzyyzxxzyzxyzyx 0192000600140 23 1=122.2,2=31.7,3=49.5 m=140/3=46.7 ; 7 . 563020 3 . 340 3 . 53 ij ; 7 . 46000 7 . 460 7 . 46 m i 8=m =46.7 1 . 39)()()( 3 1 2 13 2 32 2 218 1-12 设物体内的应力场为，试求 3 1 2 6xcxy x 2 2 2 3 xyc y y
4、xcyc xy 2 3 3 2 0 zxyzz 系数 c1，c2，c3。 解：由应力平衡方程的： 0 zyx 0 xy3cxy2c zyx 0 xcy3cx3c6y zyx z zy zx 23 yzyyx 2 3 2 2 2 1 2 zx yx x 即： （1）0 xc-3cy3c6 2 31 2 2 （2）03c2c 23 有（1）可知：因为 x 与 y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零， 因此，-6-3c2=0 （3） 3c1-c3=0 （4） 联立（2） 、 （3）和（4）式得： 即：c1=1，c2=2，c3=3 1-13 已知受力物体内一点应力张量为：求外法线方
5、向余弦为 l=m=，n=的斜,MPa 037508 75005 805005 ij 2 1 2 1 截面上的全应力、主应力和剪应力。 解：Sxx lxy mxz n=24050 2 1 80 2 1 50 2 1 50 Syxy ly mzy n = 2 5 . 3725 2 1 75 2 1 50 3 Szxz lyz mz n=2155 . 2 2 1 30 2 1 75 2 1 80 S=111.7 J1=20 J2=16025 J3=-806250 3-202-16025+806250=0 方程具有三个不相等的实根！ 1=-138.2, 2=99.6,3=58.6 1-14 在直角坐标
6、系中，已知物体内某点的应力张量为 a)MPa；b) MPa；c) MPa 01001- 0010 10-001 ij 0100 0050 0500 ij 6001- 025- 10-5-01- ij 1）画出该点的应力单元体； 2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张 量。 解：a）点的应力单元体如下图 2） a) MPa 该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=200 MPa，J 3=0 MPa， 01001- 0010 10-001 ij 主应力和主方向： 1=20 MPa，l=m=0；n=; 2 2 ; 2 2 2=-1
7、0 MPa，l=m= n=0 3=0 MPa，l=m=0；n=; 2 2 ; 2 2 主剪应力 12=15 MPa；23=5 MPa；12=10 MPa 最大剪应力 max=15 MPa 八面体应力 8=3.3 MPa；8=12.47 MPa。 等效应力MPa45.26 应力偏张量及球张量。 4 MPa； MPa； 3 02 001- 0 3 04 0 10-0 3 02 ij 3 01 00 0 3 01 0 00 3 01 ij b) 点的应力单元体如下图 MPa 该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=2500 MPa，J 3=500 MPa， 0100 0050 0500 ij
8、主应力和主方向： 1=10 MPa，l=m= n=0 2=50 MPa，l= m= n=0； ; 2 2 3=-50 MPa，l= m= n=0。; 2 2 主剪应力 12=20 MPa；23=50 MPa；12=30 MPa 最大剪应力 max=30 MPa 八面体应力 8=3.3 MPa；8=41.1 MPa。 等效应力MPa 2 . 87 应力偏张量及球张量。 MPa； MPa； 3 02 00 0 3 01 50 050 3 01 ij 3 01 00 0 3 01 0 00 3 01 ij c) 点的应力单元体如下图 5 MPa 该点的应力不变量：J1=-18 MPa，J 2=33
9、MPa，J 3=230 MPa， 6001- 025- 10-5-01- ij 主应力和主方向： 1=10 MPa，l=m= n=0 2=50 MPa，l= m= n=0； ; 2 2 3=-50 MPa，l= m= n=0。; 2 2 主剪应力 12=20 MPa；23=50 MPa；12=30 MPa 最大剪应力 max=30 MPa 八面体应力 8=-6MPa；8=9.7 MPa。 等效应力=20.6MPa 应力偏张量及球张量。 ； 12001- 085- 10-5-16- ij 600 060 006 ij 1-19平板在 x 方向均匀拉伸（图 1-23） ，在板上每一点=常数，试问为
10、多大时，等效应力为最小？并求其最小 x y 值。 图 1-23（题 19） 解：等效应力： 2 x 2 y 2 yx 2 xz 2 yz 2 xy 2 zx 2 zy 2 yx )()()( 2 1 6)()()( 2 1 令，要使等效应力最小，必须使 y 值最小，两边微分得： 2 x 2 y 2 yx )()()(y 6 xy yx y yyyyx 2 0-2 0 d dy d2d)(2 等效应力最小值： x 2 x 2 y 2 yx min 3 )()()( 2 1 1-20在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与 x 轴交成 角的一个平面上，其正应力为 （0） ，切应力为 ，且为最大切应力
11、K，如图 1-24 所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在 y 方向上的正应力 y 及切应力 xy，且将 yyz 及 x、xy 所在平面标注在应力莫尔圆上。 图 1-24（题 20） 解：由题意得知塑性区一点在与 x 轴交成 角的一个平面上的切应力为为最大切应力 K，因此可以判断该平面为主剪 平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图 1-25 所示。 图 1-25 os2cK Ksin2 xy y 7 第二章第二章 2-9设，其中 a、b 为常数，试问上述应变场xya;bx);y2x(a xy 2 y 22 x 在什么情况下成立？ 解：对
12、求 y 的 2 次偏导，即：)y2x(a 22 x （1） 4a y 2 x 2 对求 x 的 2 次偏导，即： 2 y xb （2） 2b x 2 y 2 对求 x 和 y 的偏导，即：xya xy （3） a yx xy 2 带（1） 、 （2）和（3）入变形协调方程（4） ，得： （4） yxxy xyy x 2 2 2 2 2 )( 2 1 a)2b4a( 2 1 即：时上述应变场成立。-ba 2-10 试判断下列应变场是否存在？ （1）， 2 x xyyx 2 y xy z 0 xy yz 2 1 2 yz 22 xz yx 2 1 （2）， 22 x yx 2 y y0 z 2xy
13、 xy 0 xzyz （1）解：对、和分别求 x、y 或 z 的 2 次偏导，对、 2 x xyyx 2 y xy z 0 xy 和分别求 x、y 和 z 的 2 次偏导，则：yz 2 1 2 yz 22 xz yx 2 1 , ； （a） 2x y 2 x 2 0 z 2 x 2 , ； （b） 2y x 2 y 2 0 z 2 y 2 8 ，； （c） 0 x 2 z 2 0 y 2 z 2 ，； （d） 0 yx xy 2 0 zy zy 2 0 zx zx 2 将（a） 、 （b） 、 （c）和（d）代入变形协调方程（e）： yxxy xyy x 2 2 2 2 2 )( 2 1 （e） zyyz yz z y 2 2 2 2 2 )( 2 1 xzzx zxxz 2 2 2 2 2 )( 2 1 则（e）第一式不等，即： 0)2y2x( 2 1 这说明应变场不存在。 （2）对、和分别求 x、y 或 z 的 2 次偏导，对和 22 x yx 2 y y0 z 2xy xy 分别求 x、y 和 z 的 2 次偏导，0 xzyz , ； （a） 2 y 2 x 2 0 z 2 x 2 , ； （b） 0 x 2 y 2 0 z 2 y 2 ，；
