初三数学分类讨论思想在解题中的应用知识精讲首师大版

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1、初三数学分类讨论思想在解题中的应用知识精讲 【同步教育信息】一. 本周教学容： 分类讨论思想在解题中的应用 1. 在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。 2. 正确的分类应当符合两条原则： （1）分类应按同一标准进行； （2）分类应当不重复，不遗漏。 例如，把三角形分为斜三角形和等边三角形两大类，既有重复（等边三角形是斜三角形），又有遗漏（不包括直角三角形），其分类标准不统一，故分类错误。分类后，对各个情况分别进行研究，得出不同情况下的结论，这就是讨论。 3. 分类讨论思想是中考的热点考查容。二.

2、 重点、难点： 分类讨论思想的应用和分类的标准既是重点又是难点。【典型例题】一、与数学概念、定义有关的分类讨论。 例1. 分析：对值符号，这就要根据绝对值的概念进行分类讨论研究。 解法一： 解法二： 故应填8或2。 例2. 已知相切两圆的圆心距为5，一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为_。 分析：相切两圆分为切、外切两种情况。 解：设另一个圆心的半径为r，则r25或r25。 r3或7。二、涉及数学运算法则或定理、公式的适用围的分类讨论。 例3. A. 第一、二象限B. 第二、三象限 C. 第三、四象限D. 第一、二、三象限 分析：分两种情况讨论。 解法一：分两种情况讨论： （1）当abc0时，

3、由等比性质，得 （2）当abc0时，abc， 综合（1）（2），直线ykxk一定经过第二、三象限，故选B。 解法二： 例4. 误解： 分析：误解的结果是正确的，但解法是欠妥的，造成误解的原因是习惯性地把未知量x，y看作不相等，即忽视了xy的情况，这种错误易出现，但又难发现，因此必须高度重视。正确的解法是分类讨论： 说明：本例也可以应用因式分解法避免讨论： 解法二： 三、涉及问题中待定参数的变化的分类讨论。 例5. 根？ 分析：方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次项的系数要分类讨论。 解： 说明：方程中最高次项的系数是含字母的不确定代

4、数式，决定了它的取值的多种可能性，不能看到x2项就简单地认为是一元二次方程。 例6. （1）k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ （2）设（1）中的两个交点为A，B，试比较AOB与90角的大小。 分析：置，所以要注意分类讨论。 解： （2）yx8的图象经过第一、二、四象限，由于k的不同取值导致A、B的位置不同，因此应分类讨论： 当0k16时，双曲线的两支分布在第一、三象限，则这两个函数图象的交点A和B都在第一象限， AOBxOy，即AOB90，如图所示； 当k0时，双曲线的两支分布在第二、四象限，则这两个函数图象的两个交点A和B分别在第二、四象限， AOBxOy，即

5、AOB90。 例7. 分析：本题在审题时要读懂题意，题设中未指明是涉及中的哪个整数根，故要分类讨论。 解： ， 根据题设，对x1，x2进行分类讨论： 四、涉及几何元素位置变化的分类讨论。 1. 与几何基本概念有关的分类讨论。 例8. C到直线l的距离是_。 分析：点A，点B与直线l的位置关系有两种情况：A、B两点在直线l的同侧或异侧。 解：（1）如图所示，当A、B两点在直线l的同侧时， 设AMl于M，BNl于N，CPl于P，且 C是AB中点，AMCPBN， CP是梯形AMNB的中位线， （2）如图所示，当A、B两点在直线l的异侧时，过B作BRAM的延长线于R，延长PC交BR于Q，则AMCQBN

6、， ACBC，RQQB， CQ是ABR的中位线， 2. 与三角形有关的分类讨论： 例9. 已知平面直角坐标系两点A（2，0），B（4，0），点P在直线 （1）点P的坐标，并标出点P的位置； （2）经P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？若存在，求出抛物线的解析式。 解：（1）如图所示，分三种情况讨论： 设P为直角，点P（x，y），过P作PQx轴于Q，则Q（x，0）， 而过A、B、P1或A、B、P2对称轴平行于y轴的抛物线不存在。 例10. 点，AD6，点E是过点D的直线与ABC的另一边的交点，过点D能否作一条直线截原三角形所得的小三角形与原三角形相似？若能，求出DE的长，若不能，请

7、说明理由。 解： AC6，BC8，AD6，BD4。 分三种情况讨论，如图所示， （1）过D作DE1AC交BC于E1， ABCDBE1 （2）过D作DE2BC交AC于E2， ADE2ABC， （3）过D作DE3AB于D，交BC于E3， E3BDABC 3. 与四边形有关的分类讨论： 例11. 在四边形ABCD中，ADBC，ABDC，AC与BD相交于点O，BOC120，AD7，BD10，则四边形ABCD的面积是_。 分析：满足题设条件的图形有两个：平行四边形或等腰梯形，如图1，图2。 解：分两种情况讨论： （1）过D作DEAC交BC延长线于E点，过E作BD的延长线的垂线与BD延长线交于F点， 由B

8、OC120，得EDF60 又根据勾股定理，BE2BF2EF2，设EFh， （2）如图2，类似可得： 4. 与圆有关的分类讨论： 例12. 已知O中，半径r5cm，AB、CD是两条平行弦，且AB8cm，CD6cm，求AC的长。 分析：由弦AB、CD的位置的不确定性来分类讨论。 解：（1）如图所示，由垂径定理及勾股定理，得弦心距 则弦AB、CD间的距离为437或431，从而 说明：本例中隐含了两个层次的分类讨论思想： （1）平行弦位置的不确定性，即它们可在圆心的同侧，也可在圆心的两侧。这就是种情况。 （2）点的位置的不确定性，如当A，B确定后，C，D的排列有两种情形；【模拟试题】一、选择题： 1.

9、 若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ） A. （1，2） B. （1，2） C. （1，2），（1，2） D. 以上都有可能 2. 已知P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B两点，P50，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ） A. 140B. 65C. 140或40D. 65或115 3. 弦AB是圆接正三角形的一边，弦AC是圆接正六边形的一边，则BAC的度数为（ ） A. 30B. 90C. 30或90D. 60或30 4. 若点M到O的最长距离为10，最短距离为4，则圆O的半径为（ ） A. 5或2B. 3或7C. 10或4D. 14或6 5. 已知等腰三角形的一

10、个角等于70，则它的顶角的度数为（ ） A. 70B. 70或55C. 40D. 40或70 6. 一个等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A. 12B. 14C. 9D. 9或12 7. 如果是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A. 3B. 9C. 6D. 6 8. 半径不等的两个圆有公共点，则两圆的公切线的条数是（ ） A. 1条B. 2条C. 3条D. 以上都有可能二、填空题： 9. 已知四边形ABCD中，ABBC，ABC60，BAD90，且ACD是直角三角形，那么AD的长等于_。 10. 已知直角三角形的两条边长分别为，那么斜边上的高为_。 11. 已知O是ABC的

11、外接圆，ODBC于D，且BOD58，则BAC_度。 12. 已知O1和O2外切，半径分别为1cm和3cm，那么半径为5cm且与O1和O2都相切的圆一共可以作出_个。 13. 若分式的值为零，则x的值应为_。 14. 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为2，6，图象与y轴相交，交点与原点的距离为3，那么二次函数的解析式为_。 15. 已知两数a16，b4，则a与b的比例中项是_。 16. 已知是正比例函数，则m的值为_。 17. 等腰三角形的两边长为3和2，则底角的余弦值为_。 18. 若相交两圆的半径分别为，公共弦长为4，则圆心距为_。三、解答题： 19. 已知：线段AB在x轴上，以AB为直径的圆交y轴的负半轴于点C，若，求过A、B、C三点的抛物线的解析式。 20. 已知，如图所示，D交y轴于A、B两点，且B（），D（1，0），过B点作D的切线交x轴于点P， （1）求直线PB的解析式； （2）判断在直线PB上是否存在点E，使得，若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由。 21. 如图所示，在直角坐标系中，C与y轴相切，且C点的坐标为（1