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1、1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共 5 页，150 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在 试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。 1已知集合 1,0,1,2 ,03ABxx ，则AB A.1,0,1 B.0,1 C.1,1,2 D.1,2 2在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是（1,2） ，则i z= A.12i B.2i C.12i D.2i 3在 5 2x 的展开式中， 2
2、 x的系数为 A.-5 B.5 C.-10 D.10 4某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 A.63 2 B.62 3 C.123 D.122 3 5已知半径为 1 的圆经过点3,4，则其圆心到原点的距离的最小值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 6已知函数 21 x f xx，则不等式( )0f x 的解集是 (A)1,1 (B), 11,+ (C)0,1 (D),01,+ 7设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点， 过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线 (A) 经过点O (B) 经过点P 3 (C) 平行于直线OP
3、(D) 垂直于直线OP 8在等差数列 n a 中， 1 a=-9， 5 a=-1，记 12 1,2, nn Ta aan,则数列 n T （A）有最大项，有最小项 （B）有最大项，无最小项 （C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项 9已知R，则“存在kZ使得=1 k k ”是“sin=sin”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 102020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）.历史上，求圆周率的 方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是: 当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边
4、形的周长和外切正6n边形（各 边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值，按 照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是 （A） 3030 3sintann nn （） （B） 3030 6sintann nn （） （C） 6060 3sintann nn （） （D） 6060 6sintann nn （） 4 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11函数 1 ( ) 1 f xInx x 的定义域是_. 12已知双曲线 22 :1 63 xy C，则C的右焦点的坐标为_:C的焦点到 其渐近线的距离是_. 13已知
5、正方形ABCD的边长为 2，点P满足 1 () 2 APABAC ，则 PD =_；PB PD =_. 14若函数( )sin()cosf xxx的最大值为 2，则常数的一个取值为 _. 15为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达 标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为( )Wf t，用 ( )( )f bf a ba 的大小评价在 , a b这段时间内企业污水治理能力的强弱。 已知整改 期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 5 给出下列四个结论： 1在 12 , t t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 2在 2 t时
6、刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 3在 3 t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； 4甲企业在 1 0, t, 12 , t t, 23 , t t这三段时间中，在 1 0, t的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或 证明过程。 综合题分割 16(本小题13分) 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点， ()求证: 1 BC平面 1 AD E； ()求直线 1 AA与平面 1 AD E所成角的正弦值。 综合题分割 17(本小题13分) 在ABC中，11ab, 再从条件、条件这两个条件中
7、选择一个作为 已知， 求: (I) a的值； (II)sinC和ABC的面积. 条件:7c , 1 7 cosA ; 6 条件: 1 8 cosA ， 9 os 16 cB 。 注:如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。 综合题分割 18.（本小题 14 分） 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方 案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数 据如下表： 男生女生 支持不支持支持不支持 方案一200 人400 人300 人100 人 方案二350 人250 人150 人250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。 （）分别
8、估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率； （）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 0 p。假设该校一年级有 500 名 男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 1 p， 试比较 0 p与 1 p的大小。 （结论不要求证明） 综合题分割 19 （本小题 15 分） 已知函数 2 ( )12f xx。 （）求曲线( )yf x的斜率等于-2 的切线方程； （）设曲线( )yf x在点( ,( )t f t处的切线与坐标轴围成的三角形的
9、面积为 ( )S t，求( )S t的最小值. 7 综合题分割 20 （本小题 15 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 过点( 2, 1)A ，且2ab。 （）求椭圆C的方程； （）过点( 4,0)B 的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线 4x 于点P，Q.求 | | PB BQ 的值. 综合题分割 21.（本小题 15 分） 已知 n a是无穷数列，给出两个性质： 对于 n a中任意两项,() ij a a ij，在 n a中都存在一项 m a，使得 2 i m j a a a ； 对于 n a中任意一项(3) n a n， 在 n a中都存在两项,() kl a a kl， 使得 2 k n l a a a . （）若(1,2,.) n an n，判断数列 n a是否满足性质，说明理由； （）若 1 2(1,2,.) n n an ，判断数列 n a是否同时满足性质和性质，说明 理由； （）若 n a是递增数列，且同时满足性质和性质，证明： n a为等比数列.
