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1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合A(x,y)|x,yN*,yx,B(x,y)|xy8,则AB中元素的个数为A.2 B.3 C.4 D.62.复数的虚部是A. B. C. D.3.
2、在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是A.p1p40.1,p2p30.4 B.p1p40.4,p2p30.1C.p1p40.2,p2p30.3 D.p1p40.3,p2p30.24.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数。当I(t*)0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln193)A.60 B.63 C.66 D.695.设O为坐标原点,直线x2与抛物线
3、C:y22px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为A.(,0) B.(,0) C.(1,0) D.(2,0)6.已知向量a,b满足|a|5,|b|6,ab6,则cosA. B. C. D.7.在ABC中,cosC,AC4,BC3,则cosBA. B. C. D.8.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是A.64 B.44 C.62 D.429.已知2tantan()7,则tanA.2 B.1 C.1 D.210.若直线l与曲线y和圆x2y2都相切,则l的方程为A.y2x1 B.y2x C.yx1 D.yx11.设双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为。P是C上一
4、点,且F1PF2P。若PF1F2的面积为4,则aA.1 B.2 C.4 D.812.已知5584,13485。设alog53,blog85,clog138,则A.abc B.bac C.bca D.cab二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.著x,y满足约束条件,则z3x2y的最大值为 。14.(x2)6的展开式中常数项是 。(用数字作答)。15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 。16.关于函数f(x)sinx有如下四个命题:f(x)的图像关于y轴对称。f(x)的图像关于原点对称。f(x)的图像关于直线x对称。f(x)的最小值为2。其中所有真
5、命题的序号是 。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)设数列an满足a13,an13an4n。(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn。18.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值
6、为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”。根据所给数据,完成下面的22列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附:。19.(12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DEED1,BF2FB1。(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB2,AD1,AA13,求二面角AEFA1的正弦值。20.(12分)已知椭圆C:的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点。(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x6上,
7、且|BP|BQ|,BPBQ,求APQ的面积。21.(12分)设函数f(x)x3bxc,曲线yf(x)在点(,f()处的切线与y轴垂直。(1)求b:(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1。(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t1),C与坐标轴交于A,B两点。(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程。23.选修45:不等式选讲(10分)设a,b,cR,abc0,abc1。(1)证明:abbcca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c的最大值,证明:maxa,b,c。答案1C 2D 3B 4C 5B 6D 7A 8C 9D 10D 11A 12A13.714.24015.16.17.18.19.20.21.22.23.- 9 -