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1、- 1 - 初一数学（上）知识点 有理数 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数)0pq , p ( p q 为整数且 统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是 正数；不是有理数； (2)有理数的分类: 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域， 这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0 和正
2、整数；a0 a 是正数；a0 a 是负数； a0 a 是正数或0 a 是非负数；a 0 a 是负数或0 a 是非正数. 2数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是b-a；a+b 的相反数是-a-b； (3)相反数的和为0 a+b=0 a、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表 示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：
3、或 ；绝对值的问题经常分类讨论； )0a (a )0a (0 )0a (a a )0a (a )0a (a a - 2 - (3) ； ；0a1 a a 0a1 a a (4) |a|是重要的非负数，即|a|0；注意：|a|b|=|ab|, . b a b a 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0 大，负数永远比0 小；（3） 正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比 左边的数大；（6）大数-小数 0，小数-大数 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a0，那么 的倒数是；倒
4、数是本身的a a 1 数是1；若ab=1 a、b 互为倒数；若ab=-1 a、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0 相加，仍得这个数. 8有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个
5、数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc） ； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . 12有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.无意义即0 a - 3 - 13有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
6、14乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即a20；若a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 10010 11 01 . 0 1 . 0 2 2 2 15科学记数法：把一个大于10 的数记成a10n的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫 科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫
7、这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原 则. 19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 代数初步知识 1. 代数式 ： 用运算符号“ ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意 ： 用字母表 示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或 生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式. 2.列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“ ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“
8、”乘，不用“ ”乘，也不能省略乘号； - 4 - （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a5 应写成5a； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a应写成a； 2 1 1 2 3 （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3a 写成的形式； a 3 （6） a 与b的差写作a-b， 要注意字母顺序 ； 若只说两数的差， 当分别设两数为a、 b 时， 则应分类， 写做a-b 和b-a . 3.几个重要的代数式：（m、n 表示整数） （1）a 与b的平方差是： a2-b2 ； a 与b 差的平方是：（a-b）2 ； （2）若a、b、c 是正整
9、数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c； （3）若m、n是整数，则被5 除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数 是： n-1、n、n+1 ； （4）若b0，则正数是:a2+b ，负数是： -a2-b ，非负数是： a2 ，非正数是：-a2 . 整式的加减 1单项式 ： 在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代 数式叫单项式. 2单项式的系数与次数 ： 单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数 ； 系数不为 零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
10、3多项式：几个单项式的和叫多项式. 4多项式的项数与次数 ： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项 ； 多项式 里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c 和x2+px+q 是常见 的两个二次三项式. 5整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为： . 多项式 单项式 整式 6同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. - 5 - 8去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不
11、变号；若括号前边是 “-”号，括号里的各项都要变号. 9整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列 ： 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫 做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意 ： 多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 一元一次方程 1等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：“等量就能代入”！ 2等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式. 3方程：含
12、未知数的等式，叫方程. 4方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！ 5移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6一元一次方程 ： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是 一元一次方程. 7一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且a0）. 8一元一次方程的最简形式： ax=b（x 是未知数，a、b 是已知数，且a0）. 9一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 （检验方程的解）. 10列一元一次方程解
13、应用题： （1）读题分析法: 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如 ： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加， 减少，配套-” ，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量 的关系填入代数式，得到方程. （2）画图分析法: 多用于“行程问题” - 6 - 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形 各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量 与量之间的关系（可把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础. 11列方程
14、解应用题的常用公式： （1）行程问题： 距离=速度时间 ； 时间 距离 速度 速度 距离 时间 （2）工程问题： 工作量=工效工时 ； 工时 工作量 工效 工效 工作量 工时 （3）比率问题： 部分=全体比率 ； 全体 部分 比率 比率 部分 全体 （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； （5）商品价格问题： 售价=定价折 ，利润=售价-成本， ； 10 1 %100 成本 成本售价 利润率 （6）周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a， S正方形=a2，S环形=(R2-r2),V长方体=
15、abc ，V正方体=a3，V圆柱=R2h ，V圆锥=R2h. 3 1 图形认识初步图形认识初步 一. 线段、射线、直线 1. 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称图形表示方法端点长度 直线 l BA 直线AB(或BA) 直线l 无端点无法度量 射线 MO 射线OM1 个无法度量 线段 l BA 线段AB(或BA) 线段l 2 个可度量长度 2. 直线公理:经过两点有且只有一条直线. 二.比较线段的长短 1. 线段公理:两点间线段最短;两之间线段的长度叫做这两点之间的距离. 2. 比较线段长短的两种方法: A O B 图1 b 图2 - 7 - 圆规截取比较法; 刻度尺度量比较法
16、. 3. 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分; 用圆规可以画出线段的和、差、倍. 三.角的度量与表示 1. 角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角; 这个公共端点叫做角的顶点; 这两条射线叫做角的边. 2. 角的表示法：角的符号为“” 用三个字母表示，如图1 所示AOB 用一个字母表示，如图2 所示b 用一个数字表示，如图3 所示1 用希腊字母表示，如图4 所示 经过两点有且只有一条直线。 两点之间的所有连线中，线段最短。 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 1=60 1=60” 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图5 所示： 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。如图6 所示： 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角
