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1、第一节 二重积分的概念与性质,问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质 4. 二重积分的计算（直角坐标系）,第九章 重积分,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如
2、下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,对 D 进行分割：,小曲顶柱体,曲顶柱体的体积,(底面积),(高),小曲顶柱体的体积,.,.,顶柱体体积为：,近似代替,曲顶柱体的体积,求非均匀平面薄片的质量,分割薄片成若干小块，,将各小块近似看作均匀薄片，,所有小块质量近似之和近似等于薄片总质量M,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义
3、,（1）当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,（2）当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,(3),= (D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积),例 根据二重积分的几何意义，指出下列积分值，其中,，,；,，,，,圆柱体的体积,=上半球体体积,四面体的体积,解,=,函数可积时，用直角坐标直线网来划分积分区域D，得直角坐标系下的,故在直角坐标系下，二重积分可写为,面积元素为,性质,性质,（与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,（二重积分估值不等式）,性质,（二重积分中值定理）,中值定理的证明,证: 由性质6
4、可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,1. 直角坐标系下二重积分的计算.,由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时,类比一下，能否利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法来计算曲顶柱体的体积？,体积,四、二重积分的计算,回忆，平行截面面积为已知 的几何体体积的计算方法,.,曲顶柱体的体积,.,曲顶柱体的体积,(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a, x=b及两条曲线 y = y1(x), y = y2(x)围成.,如图,即, D: y1(x) y y2(x),a x b,称为X型区域.,特别情形是,A、
5、B退缩成一点, E、F退缩成一点.,故,右端称为先对 y , 再对 x 的二次积分(累次积分).,计算原则: 由里到外.,即先将x 看作常数, 以y 为积分变量, 求里层积分.,得到的结果是只含x, 不含 y 的函数式, 再求外层积分(以x为积分变量).,注1. 公式,虽是在条件 f (x, y) 0下得到的, 但对一般的 f (x, y)都成立, 只须D是 X型区域即可.,注2. 习惯上常将右端的二次积分记作,即,(2)类似, 若D: x1(y) x x2(y), c y d, 称为 Y 型区域,则二重积分可化为先对 x, 再对 y 的二次积分.,即,(3)若D既是 X型区域, 又是 Y型区
6、域.,比如,则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分.,等等,当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.,此时,(4)若D的形状较复杂, 既不是 X型区域, 也不是 Y型区域.,则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块, 使每一块或为X型, 或为 Y型, 分块积.,如图,(5) 设D: y1(x) y y2(x), a x b, 为 X 型区域.,其中y2(x)为分段函数.,如图,则,由于y2(x)是分段函数, 里层积分上限无法确定用哪一个表达式.,故应将D分成D1, D2, 分块积分.,(6) 不论是先对 x 积分,还是先对 y 积分,注（1）里层积分
7、的上、下限总是曲线的函数表达式, 而外层积分的上、下限是点的坐标.,（2）X 型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（3）Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,例. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,例.,为确定累次积分的上、下限.,作与y轴同向的射线, 从下至上穿过D.,则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.,解: 先画区域D的图形.,法1. 先对y积分.,里层积分的下限为x2, 上限为x.,由于该射线变化范围是0, 1.,因此, 外层积分下限为0, 上限为1. 即,法2. 先对 x 积分.,作与 x 轴同向射线, 从左至右穿过D.,则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2. 即,故里层对 x 积分的下限为y, 上限为,而该射线的变化范围是0, 1.,故外层对 y 的积分下限为0, 上限为1.,例.,解: 先画D的图形.,先对 x 积分. 作与 x 轴同向的射线穿过D. 易知, x 从左方曲线y=x2即,右方曲线 y=x+2即 x=2 y. 而 y0, 1.,故,所以, 原式 =,问, 若先对 y 积分, 情形怎样?,解,另解,
