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1、导数及其应用一、选择题1(2011年高考福建卷)(ex2x)dx等于()A1 Be1Ce De1解析：选C.(ex2x)dx(exx2)|(e112)(e002)e.2若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：选C.由题意知x0，且f(x)2x2，即f(x)0，x2x20，解得x1或x2.又x0，x2.3函数f(x)的导函数为f(x)，若(x1)f(x)0，则下列结论中正确的是()Ax1一定是函数f(x)的极大值点Bx1一定是函数f(x)的极小值点Cx1不是函数f(x)的极值点Dx1不一定是函数f(x)的极值点解析：选D
2、.由题意，得x1，f(x)0或x1，f(x)0，但函数f(x)在x1处未必连续，即x1不一定是函数f(x)的极值点，故选D.4曲线y在点M处的切线的斜率为()A B.C D.解析：选B.y，故y，曲线在点M处的切线的斜率为.5由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4C. D6解析：选C.由，得其交点坐标为.因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为dxdx81624.二、填空题6函数f(x)x2cos x在区间0，上的单调递减区间是_解析：f(x)12sin x，令f(x)0，即12sin x0，所以sin x.又x0，所以x，即函数f(x)的单调递减区间是.答案：7设aR，
3、若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_解析：yexa，问题转化为“方程exa0有大于零的实数根”，由方程解得xln(a)(a0，即a1.答案：a0，函数f(x)x2(a1)xaln x.(1)若曲线yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，求a的值；(2)当0a0，f(x)x(a1).因为曲线yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1.即2(a1)1，所以a4.(2)f(x)x(a1)，因0a0，函数f(x)单调递增；当x(a,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点10已知函数f(x)x2axbln
4、x(x0，实数a，b为常数)(1)若a1，b1，求函数f(x)的极值；(2)若ab2，且b1，讨论函数f(x)的单调性解：(1)函数f(x)x2xln x，则f(x)2x1，令f(x)0，得x11(舍去)，x2.当0x时，f(x)时，f(x)0，函数单调递增；f(x)在x处取得极小值ln 2.(2)由于ab2，则a2b，从而f(x)x2(2b)xbln x，则f(x)2x(2b)，令f(x)0，得x1，x21.当0，即b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)；当01，即0b0)，其导函数yh(x)的图象如图所示，f(x)ln xh(x) (1)求函数f(x)在x1
5、处的切线斜率；(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；(3)若函数y2xln x(x1,4)的图象总在函数yf(x)的图象的上方，求c的取值范围解：(1)由题知，h(x)2axb，其图象为直线，且过A(2，1)、B(0,3)两点，解得.h(x)x23xc.f(x)ln x(x23xc)x23xcln x.f(x)2x3，f(1)230，所以函数f(x)在x1处的切线斜率为0.(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，)，由(1)知，f(x)2x3.令f(x)0，得x或x1.当x变化时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)的单调递增区间为，(1，)f(x)的单调递减区间为.要使函数f(x)在区间上是单调函数，则，解得x23xcln x在x1,4上恒成立，即当x1,4时，cx25x2ln x恒成立设g(x)x25x2ln x，x1,4，则cg(x)max.易知g(x)2x5.令g(x)0得，x或x2.当x(1,2)时，g(x)0，函数g(x)单调递增而g(1)12512ln 14，g(4)42542ln 444ln 2，显然g(1)44ln 2.c的取值范围为(44ln 2，)- 5 -用心 爱心 专心
