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1、2011年高考数学一轮复习必备 极限-数列的极限、数学归纳法第92-93课时：第十二章 极限数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点（一） 数列的极限1.定义：对于无穷数列an，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当nN时，|an-A|恒成立，则称常数A为数列an的极限，记作.2.运算法则：若、存在，则有 ；3.两种基本类型的极限： S=设、分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为、且,则4.无穷递缩等比数列的所有项和公式： （|q|1)= ;（4）= ;（5）.= ;（6）等比数列an的公比为q=1/3,则= ;
2、例2将无限循环小数；1.32化为分数.例3已知,求实数a,b的值;例4数列an,bn满足(2an+bn)=1, (an2bn)=1,试判断数列an,bn的极限是否存在，说明理由并求(anbn)的值.例5设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为An ,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn ,其中a0,|r|0)的等比数列的前n项之和为Sn,又设Tn=,求.例7an的相邻两项an,an+1是方程x2cnx+=0的两根，又a1=2,求无穷等比c1,c2,cn, 的各项和.例8在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积
3、总和与所有正方形的面积总和。rnrn+1an例9如图，B1，B2，Bn,顺次为曲线y=1/x(x0)上的点，A1，A2，An顺次为ox轴上的点，且三角形OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An1BnAn为等腰三角形（其中 Bn为直角),如果An的坐标为(xn,0).(1)求出An的横坐标的表达式;An1A1A2AnBnB3B2B1yxO(2)求.二例题（数学归纳法）例1用数学归纳法证明2nn2 (nN,n5),则第一步应验证n= ;例2用数学归纳法证明,第一步验证不等式 成立；例3.是否存在常数a,b,c,使得等式122232n(n1)2(an2bnc)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(
4、89年)例4.已知数列an=,记Sn=a1+a2+a3+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.例5证明： (nN,n2)例6证明：xnnan1x+(n1)an能被(xa)2整除(a0).例7.在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数使这个数成等差数列记（）求数列和的通项；（）当时，比较与的大小，并证明你的结论例8若数列an满足对任意的n有：Sn=,试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论.例9已知数列是等差数列，。（）求数列的通项；（）设数列的通项（其中，且），记是数列的前n项和。试比较与的大小，并证明你的结论。练习（数列的极限）1. 已知an是等比数列,如
5、果a1a2a318,a2a3a49,Sna1a2an,那么的值等于( )(89年)(A)8(B)16(C)32(D)482. 的值等于( )(91年)(A)0(B)1(C)2(D)33.在等比数列an中,a11,且前n项和Sn满足,那么a1的取值范围是( )(98年)(A)(1,)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,)7.)等于 ( ) (A)0 (B) (C) (D)58等于：（A）16 （B）8 （C）4（D）29 已知各项均为正数的等比数列an的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,=1,则公比q的取值范围是： （A）.q1 （B）.0q1 （C）.0q110.的值为 ( )(
6、A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在11.已知an是公差不为0的等差数列，Sn是an的前n项和，那么等于_.12.已知等差数列an的公差d0，首项a10，S_.(93年)13.如果存在，且，则_14._.(86年)15._.(87年)16.已知等比数列an的公比q1，a1b(b0)，则_.17求= （a0);18数列,的前n项和及各项和S= .19.= .20.已知数列a1,a2,an,的前项和Sn与an的关系是Snban1,其中b是与n无关的常数,且b1；.求an和an1的关系式; .写出用n和b表示an的表达式;.当0b1时,求极限Sn.(87年)21在边长为a的正方形ABCD中内依次
7、作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,),使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为a,求所有正方形的面积之和.a 22已知直线L：xny=0(nN),圆M：(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x1)2,又L与M交于点A、B，L与交于点C、D，求.23.设a (n1,2,3),b (n1,2,3),用极限定义证明.(85年)练习（数学归纳法）1由归纳原理分别探求：(1)凸n边形的内角和f(n)= ;(2)凸n边形的对角线条数f(n)= ;(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)= .2平面上有n条直线，且任何两条
8、不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f(n) 个区域，则f(n+1)=f(n)+ .3当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除，当第二步假设n=2k1时命题为真，进而需验证n= ，命题为真。4用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n123(2n1)(nN),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为 .5.用数学归纳法证明：an+1+(a+1)2n -1可以被a2+a+1整除(nN).6若ai0(i=1,2,3,n),且a1+a2+an=1,证明：a12+a22+an2. (n2,nN)7已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+lg2x,其中nN,n3,试比较AN与Bn的大小.8数列an中，.9.试证：不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列，当n1,nN且a,b,c互不相等时，都有an+cn2bn.(nN).10.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an (nN),(1) 试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式；(2) 证明你的猜想，并求出an的表达式。11已知an满足：(n1)an+1=(n+1)(an1),a2=6,bn=n+an(nN).(1)求出bn的通项公式，(2)是否存在非零常数p、q使数列成等差数列？若存在，试求出q、q的关系，若不存在，说明理由.7 / 7
