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1、2012 版高考数学 3-2-1 精品系列专题 04 三角函数（教师版） 1 / 144 20122012 版高考数学版高考数学 3-2-13-2-1 精品系列专题精品系列专题 0404 三角函数（教师版）三角函数（教师版） 【考点定位考点定位】2012】2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 三角恒等变换 （1）和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的 余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 能利用两角差的 余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了 解它们的内在联
2、系. （2）简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、 和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 解三角形（1）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三 角形度量问题. （2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题. 考纲解读：三角题目一般不难；三角函数重点考查化简求值、图像变换、恒等变换； 解答题中单纯的三角变换问题已不多见，要重视解三角形，特别是实际应用问题。解答题 也要重视与其它知识的综合，如平面向量。 近几年考点分布近几年考点分布分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年
3、有 25 分， 约占 17%，试题的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角 函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变 形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答 题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热 点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。因此，在复习 过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对 称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突 出三角与代数、几
4、何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 基于以上分析，预测 在 2012 年的高考试卷中，考查三角函数的题仍为一小题一大题。主要考查三基(基础知 识、基本技能、基本思想和方法)以及综合能力，难度多为容易题和中档题。 【考点考点 pk】pk】名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用有关三角函数的概念和公式的简单应用 2012 版高考数学 3-2-1 精品系列专题 04 三角函数（教师版） 2 / 144 （1）322 21 21 tan1 tan1 cos sin 1 cos sin 1 sincos sincos ；8 分 （2） 22 2 2 coss
5、in coscossin 1coscossin1 3 24 12 12 1 1 cos sin 1 cos sin 1 2 2 【名师点睛名师点睛】给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值； 对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式” ，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数 化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式. 考点二考点二 有关三角函数的性质问题有关三角函数的性质问题 例 3：已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1()f xxxxxR（）求函数( )f x的最小正 周期及在区间0, 2 上的最大值和最小值；（）若 00 6 (), 54 2 f
6、xx ，求 0 cos2x的值。 2012 版高考数学 3-2-1 精品系列专题 04 三角函数（教师版） 3 / 144 所以函数( )f x在区间0, 2 上的最大值为 2，最小值为-1 （）由（1）可知 00 ()2sin 2 6 f xx 又因为 0 6 () 5 f x，所以 0 3 sin 2 65 x 由 0 , 4 2 x ，得 0 27 2, 636 x 从而 2 00 4 cos 21 sin2 665 xx 所以 0000 34 3 cos2cos2cos 2cossin 2sin 66666610 xxxx 【名师点睛名师点睛】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判
7、断三角函数的奇偶性，往往是在 定义域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)B的形式，然后再求解 (2)对于形如yasin xbcos x型的三角函数，要通过引入辅助角化为 ysin(x)(cos ，sin )的形式来求 a2b2 a a2b2 b a2b2 例 4：设函数( )sincosf xmxx()xR的图象经过点 2 ，1 （）求( )yf x的解 析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间（）若()2sin 12 fA ，其中A是面积 为 3 3 2 的锐角ABC的内角，且2AB ，求AC和BC的长 解：（）函数( )sincosf xmxx()xR的图象经过点 2 ，1 si
8、ncos1 22 m 1m 2012 版高考数学 3-2-1 精品系列专题 04 三角函数（教师版） 4 / 144 ( )sincos2sin() 4 f xxxx .4 分函数的最小正周期2T.5 分 由22 242 kxk 可得 3 22 444 kxk ( )yf x的调递增区间为 3 2,2() 44 kkkZ 7 分 （）因为()2sin 12 fA 即()2sin2sin 123 fA sinsin 3 A 9 分 A是面积为 3 3 2 的锐角ABC的内角， 3 A .10 分 13 sin3 22 ABC SAB ACA A 3AC.12 分 由余弦定理得： 222 2cos
9、7BCACABAB ACA .13 分 【名师点睛名师点睛】求函数yAsin(x)(或yAcos(x)，或yAtan(x)的 单调区间 (1)将化为正(2)将x看成一个整体，由三角函数的单调性求解 例 5：已知函数( )sin()sin()cos(,) 66 f xxxxa aR a 为常数.()求函数 ( )f x的最小正周期；()若函数( )f x在- 2 ， 2 上的最大值与最小值之和为3，求 实数a的值. 由题意，有(3)(2)3aa31a 12 分 【名师点睛名师点睛】求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为yAsin(x)B的 形式，进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式
10、化为关于 sin x，cos x的二次函 数的形式，进而借助二次函数的性质求解. 2012 版高考数学 3-2-1 精品系列专题 04 三角函数（教师版） 5 / 144 考点三考点三 三角函数的图象变换三角函数的图象变换 例 6：为了得到函数sin(2) 3 yx 的图像，只需把函数sin(2) 6 yx 的图像 （A）向左平移 4 个长度单位 （B）向右平移 4 个长度单位 （C）向左平移 2 个长度单位 （D）向右平移 2 个长度单位 【名师点睛名师点睛】三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减” ，伸缩的倍数是， 求三角函数的最值，一般要把三角函数化为f(x)=Asin(x
11、+)+B 的形式，有时还要注意 x+的取值范围 例 7：已知函数) 2 | , 0, 0)(sin()( AxAxf的 部分图象如下图所示：（1）求函数)(xf的解析式并写出其所有 对称中心；（2）若)(xg的图象与)(xf的图象关于点 P（4，0）对称，求)(xg的单调递增区间 解：（1）由图可得。A=2，8)2(6 2 T ，所以， 8 ,16 T，2 分则此时) 8 sin(2)( xxf，将点2, 2代入， 可得 4 . 4 分 ) 48 sin(2)( xxf； 对称中心为(82,0)()kkZ 7 分 （2）由)(xg的图角与)(xf的图象关于点 P（4，0）对称，得)8()(xf
12、xg, 9 分 )(xg= 4 )8( 8 sin2 x=) 4 5 8 sin(2) 84 5 sin(2 xx,11 分 令)(1416616 2 2 4 5 82 2Zkkxkkxk得 . 即)(xg单调递增区间为16k+6,16k+14 kZ13 分 【名师点睛名师点睛】本题三角函数图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离正好是半个 周期，从而确定参数，由最高点和最低点可确定振幅A，代入某一点的坐标到三角函数 解析式可以确定初相；求给定区间上的三角函数的最值（或值域）问题，一般思路是 求x的范围，并作为一个整体，借助基本函数sin ,cosyx yx解决.由图象求解 析式时,“找
13、准关键点”的确定很重要,尽量使 A 取正值. 2012 版高考数学 3-2-1 精品系列专题 04 三角函数（教师版） 6 / 144 考点四考点四 三角恒等变换三角恒等变换 例 8：cos13 计算si n43cos43 -si n13的值等于（ ） A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【解析】原式= 1 sin(43 -13 )=sin30 = 2 ，故选 A。 例 9：若 4 cos 5 ，是第三象限的角，则 1tan 2 1tan 2 (A) 1 2 (B) 1 2 (C) 2(D) -2 解解：由已知得 3 sin 5 ，所以 3 tan 4 ，又 2 属于第二或第四象限
14、，故由 2 2tan 2 tan 1tan 2 1 sin1 cos2 例 10： 2 3sin70 2cos 10 （ ） A 1 2 B 2 2 C2D 3 2 2012 版高考数学 3-2-1 精品系列专题 04 三角函数（教师版） 7 / 144 解解： 2 222 3sin703cos203(2cos 101) 2 2cos 102cos 102cos 10 【名师点睛名师点睛】给值求值、给值求角问题. 发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进 行所谓的“差异分析” ；寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系；合理转 化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 例 11：求值： 00
15、 00 cos40sin50 (13tan10 ) sin701 cos40 【名师点睛名师点睛】合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 例 12：已知(0,) 2 ,(, ) 2 , 7 cos2 9 , 7 sin() 9 () 求cos的值； () 求sin的值. 解:（）因为(, ) 2 ,cos0又 2 7 cos22cos1 9 ,所以 1 cos 3 （）根据（ ） ，得 2 2 2 sin1 cos 3 8分 而 3 (,) 22 ,且 7 sin() 9 , 2 4 2 cos()1 sin () 9 1 故sinsin()sin()coscos()sin= 714 22 21 ()() 93933 【名师点睛名师点睛】善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值 可使问题简化角的常见变换：2()，()() 2 2 2 考点五考点五 解三角形及实际应用解三角形及实际应用 例 13：在成且已知的对边分别为角中cbaBcbaCBAABC, 13 5 sin,等比数列。 2012 版高考数学 3-2-1 精品系列专题 04 三角函数（教师版） 8 / 144 【名师点睛名师点睛】正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合 理选用，有时还需要交替使用 例 14：如图，A，B是海面
