978编号高中数学必修三知识点总结

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1、高中数学必修高中数学必修 3 知识点知识点 第一章算法初步第一章算法初步 1.1.1算法的概念算法的概念 1、算法概念： 在数学上， 现代意义上的 “算法” 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤， 这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当 是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个 确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有

2、执行完前一步才能进行下一步，并且每一步 都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经 过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图程序框图 1、程序框图基本概念： （一）程序构图的概念 ： 程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文 字说明。 （二）构成程序框的图形符号及其作用 程序框名称功能 起止框 表示一

3、个算法的起始和结束， 是任何流程图 不可少的。 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息， 可用在算 法中任何需要输入、输出的位置。 处理框 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、 公式等分别写在不同的用以处理数据的处 理框内。 判断框 判断某一条件是否成立， 成立时在出口处标 明 “是” 或 “Y” ； 不成立时标明 “否” 或 “N” 。 学习这部分知识的时候， 要掌握各个图形的形状、 作用及使用规则， 画程序框图的规则如下 ： 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外， 大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符

4、号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果； 另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 （三） 、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下 的顺序进行的， 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的， 它是任何一个算法都离不开的一 种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完 A 框指定的操作后，才能接着执

5、行 B 框所指定的操作。 2、条件结构：、条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 A B 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立，只能执行 A 框或 B 框之一， 不可能同时执行 A 框和 B 框，也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断 框。 3、循环结构：、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理 步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含 条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： （1） 、 一类

6、是当型循环结构， 如下左图所示， 它的功能是当给定的条件P成立时， 执行A框， A 框执行完毕后，再判断条件 P 是否成立，如果仍然成立，再执行 A 框，如此反复执行 A 框， 直到某一次条件 P 不成立为止，此时不再执行 A 框，离开循环结构。 （2） 、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条 件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，则继续执行 A 框，直到某一次给定的条件 P 成立为止， 此时不再执行 A 框，离开循环结构。 当型循环结构 直到型循环结构 注意：注意：1 循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结 构中一定包含条件

7、结构， 但不允许 “死循环” 。 2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。 计数变量用于记录循环次数， 累加变量用于输出结果。 计数变量和累加变量一般是同步执行 的，累加一次，计数一次。 1.2.1输入、输出语句和赋值语句输入、输出语句和赋值语句 1、输入语句、输入语句 p A 成立 不成立 P 不成立 P 成立 A （1）输入语句的一般格式 （2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3） “提示内容”提示用户输入什么样 的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是 具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，

8、若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“， ”隔开。 2、输出语句、输出语句 （1）输出语句的一般格式 （2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3） “提示内容”提示用户输入什么样 的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值 以及字符。 3、赋值语句、赋值语句 （1）赋值语句的一般格式 （2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量 ； （3）赋值语句中的“”称作赋值 号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达 式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边 表达式可以是一个数

9、据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。 注意：注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。赋值号左 右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数 式的演算。 （如化简、因式分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 122 条件语句条件语句 1、条件语句的一般格式有两种：（1）IFTHENELSE 语句；（2）IFTHEN 语句。2、 IFTHENELSE 语句 IFTHENELSE 语句的一般格式为图 1，对应的程序框图为图 2。 图形计算器 格式 INPUT“提示内容” ；变量INPUT “提示内容” ，

10、变量 PRINT“提示内容” ；表达式 图形计算器 格式 Disp “提示内容” ，变量 变量表达式 图形计算器 格式表达式变量 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 否 是 满足条件？ 语句 1 语句 2 图 1 图 2 分析：在 IFTHENELSE 语句中， “条件”表示判断的条件， “语句 1”表示满足条件时 执行的操作内容；“语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的 结束。计算机在执行时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行 THEN 后面 的语句 1；若条件不符合，则执行 ELSE 后面的语句 2。 3、IF

11、THEN 语句 IFTHEN 语句的一般格式为图 3，对应的程序框图为图 4。 注意 ：注意 ： “条件”表示判断的条件 ； “语句”表示满足条件时执行的操 作内容，条件不满足时， 结束程序 ； END IF 表示条件语句的结束。 计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行 THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该 条件语句，转而执行其它语句。 123 循环语句循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。 对应于程序框图中的两种循环结构， 一般程序设计语 言中也有当型 （WHILE 型） 和直到型 （UNTIL 型） 两种语句结构。 即 WHILE 语句和 UNTIL

12、语句。 1、WHILE 语句语句 （1）WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是 （2）当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个 过程反复进行， 直到某一次条件不符合为止。 这时， 计算机将不执行循环体， 直接跳到 WEND 语句后，接着执行 WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。 2、UNTIL 语句语句 （1）UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是 IF 条件 THEN 语句 END IF （图 3） 满足条件？ 语句 是

13、 否 （图 4） WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件？ 循环体 否 是 （2） 直到型循环又称为 “后测试型” 循环， 从 UNTIL 型循环结构分析， 计算机执行该语句时， 先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再 进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析：分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳） （1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断； 在 WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环体，在

14、 UNTIL 语句中，是当条件不满足时执行循 环 1.3.1 辗转相除法与更相减损术辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： （1） ： 用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商和一个余数； （2） ： 若0，则 n 0 S 0 R 0 R 为 m，n 的最大公约数；若0，则用除数 n 除以余数得到一个商和一个余数； 0 R 0 R 1 S 1 R （3）：若0，则为 m，n 的最大公约数；若0，则用除数除以余数得到一 1 R 1 R 1 R 0 R 1 R 个商和一个余数； 依次计算直至0，此时所得到的即为所求的 2 S 2 R n

15、R 1n R 最大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术 求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损， 求其等也，以等数约之。 翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是， 执行第二步。 （2） ： 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数 减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析：（略） 3、辗转相除法与更相减损术的区别： 满足条件

16、？ 循环体 是 否 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主， 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少， 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别 较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术 则以减数与差相等而得到 1.3.2 秦九韶算法与排序秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念： f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx