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1、高中数学必修一、必修四、必修五知识点高中数学必修一、必修四、必修五知识点 一、知识点梳理一、知识点梳理 必修一第一单元必修一第一单元 1.1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合. 2.2.特征：确定性、互异性、无序性. 3.3.表示法：列举法1,2,3,、描述法x|P、韦恩图、语言描述法不是直角三角形的三角形 4 4.常用的数集：自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N . * 5.集合的分类： (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5 5 5.关系：属于、不属于、包含于(或)、真包含于 、
2、集合相等. 6.6.集合的运算 （1）交集：由所有属于集合 A 且且属于集合 B 的元素所组成的集合；表示为：BA 数学表达式： 性质：BxAxxBA且 ABBAAAAA, （2）并集：由所有属于集合 A 或或属于集合 B 的元素所组成的集合；表示为：BA 数学表达式： 性质：BxAxxBA或ABBAAAAAA, （3）补集：已知全集 I，集合，由所有属于 I 且不属于 A 的元素组成的集合。表示：IAACI 数学表达式：AxIxxACI且 方法方法：韦恩示意图, 数轴分析. 注意注意： 区别与 、 与、a 与a、与、(1,2)与1,2； AB 时，A 有两种情况：A与 A. 若集合 A 中有
3、 n个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1, 所有)(Nn n 2 n 2 非空真子集的个数是。22 n 空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0 与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任0 何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。BA A 符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“”是, 表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 8 8.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f（x） 和它对
4、应， 那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数， 记作y=f（x） ，x A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数 值的集合f（x）|xA叫做函数的值域. 定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是 使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，
5、(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 求函数的值域的方法 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 9 9.两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则（与表示自变量和函数值的字母无关）都分别相 同时，这两个函数才是同一个函数. 1010.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素， 在集合B中都有唯一的元素和它对应， 那么， 这样的对应 （包括集合A、B， 以及集合A到集合B的对应关系f） 叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB. 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数
6、集. 1111.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法 12.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2， 当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数y
7、=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 任取 x1，x2D，且 x11，且 * axnxannnN 当是奇数时， 正数的次方根是一个正数， 负数的次方根是一个负数 此时，的次方根用符号nnnan n a 表示 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数 n ana 当是偶数时， 正数的次方根有两个， 这两个数互为相反数 此时， 正数的正的次方根用符号表示，nnan n a 负的次方根用符号表示正的次方根与负
8、的次方根可以合并成（0） n n ann n aa 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n 结论：当是奇数时， 当是偶数时，naa nn n )0( )0( | a a a a aa nn 22分数指数幂 规定： ) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ) 1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算 性质也同样可以推广到有理数指数幂 33有理指数幂的运算性质 （1）； （2）； r
9、a srr aa ), 0(Qsra rssr aa)(), 0(Qsra （3） srr aaab)(), 0, 0(Qrba 一般地， 无理数指数幂是一个确定的实数 有理数指数幂的运), 0(是无理数 aa 算性质同样适用于无理数指数幂 4 4.一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定) 1a, 0a (ay x 且 义域为 R R 5 5.指数函数的性质 图象特征函数性质 1a 1a01a 1a0 向 x、y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方函数的值域为 R+ 函数图象都过定点（0，1）1a0 自左向右
10、看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1在第一象限内的图象纵坐标都小于 11a, 0 x x 1a, 0 x x N a log 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1在第二象限内的图象纵坐标都大于 11a, 0 x x 1a, 0 x x 图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后 增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后 减小速度较慢； 6 6.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：Na x ) 1, 0(aaxaNNx a log 底数， 真数， 对数式aNN a log 说
11、明： 注意底数的限制，且； 10a1a ； 2xNNa a x log 注意对数的书写格式 3 两个重要对数： 常用对数：以 10 为底的对数； 1Nlg 自然对数：以无理数为底的对数的对数 271828 . 2 eNln 7 7.对数式与指数式的互化： xN a logNax 8.8.对数的性质 （1）负数和零没有对数； （2）1 的对数是零：；01log a （3）底数的对数是 1：；（4）对数恒等式：；1loga a Na N a log （5）na n a log 9.9.如果，且，那么：0a1a0M0N （1）； （2）；M a( log)NM a logN a log N M a
12、logM a logN a log （3） n aM lognM a log)(Rn 10.10.换底公式 （，且；，且；） a b b c c a log log log 0a1a0c1c0b （1）； （2） b m n b a n am loglog a b b a log 1 log 11.11.对数函数的概念 1定义：函数，且叫做对数函数。其中是自变量，函数的定义域是（0，+） 0(logaxy a ) 1ax 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如：， 都 1xy 2 log2 5 log5 x y 不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制
13、：，且0(a) 1a 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 2 图象特征函数性质 1a 1a01a 1a0 函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为（0，） 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数 向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为 R 函数图象都过定点（1，1） 11 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数 第一象限的图象纵坐标都大于 0第一象限的图象纵坐标都大于 00log, 1xx a 0log, 10 xx a 第二象限的图象纵坐标都小于 0第二象限的图象纵坐标都小于 00log, 10 xx a 0log, 1xx a 规
14、律：在第一象限内，自左向右，规律：在第一象限内，自左向右， 图象对应的对数函数的底数逐渐变大图象对应的对数函数的底数逐渐变大 12.12.幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数 xy )(Ra 幂函数性质归纳： （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图0), 0 1 象下凸；当时，幂函数的图象上凸；10 （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在0), 0( xy 轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴yxxx 必修
15、一第三单元必修一第三单元 1.函数零点的概念： 对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点)(Dxxfy0)(xfx)(Dxxfy 函数零点的意义： 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标)(xfy 0)(xf)(xfy x 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点0)(xf)(xfy x)(xfy 2.函数零点的求法： 求函数的零点：)(xfy （代数法）求方程的实数根；0)(xf （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出)(xfy 零点 3 3.零点存在性定理： 如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，
16、并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区 间(a,b)内有零点.即存在 c(a,b)，使得 f(c )=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 4.二分法及步骤： 对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点ab)(af)(bf0)(xfy )(xf 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：)(xf 1确定区间，验证，给定精度；ab)(af)(bf0 2求区间，的中点；a()b 1 x 3计算： 若=，则就是函数的零点；)( 1 xf 1)( 1 xf0 1 x 若，则令=（此时零点） ； 2)(af)( 1 xf0b 1 x),( 10 xax 若，则令=（此时零点） ； 3)( 1 xf)(bf0a 1 x),( 10 bxx 4判
