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1、1 高中数学必修高中数学必修 3 知识点知识点 一：算法初步一：算法初步 1：算法的概念：算法的概念 （1）算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序 或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. （2）算法的特点: 有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. 确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱 两可. 顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后 继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，
2、并且每一步都准确无误， 才能完成问题. 不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. 普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、 事先设计好的步骤加以解决. 2： 程序框图程序框图 （1）程序框图基本概念： 程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观 地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 构成程序框的图形符号及其作用 程序框名称功能 起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图 不可少的。 输入、输出框 表
3、示一个算法输入和输出的信息，可用在算 法中任何需要输入、输出的位置。 处理框 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、 公式等分别写在不同的用以处理数据的处理 框内。 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标 明“是”或“Y” ； 不成立时标明“否”或“N” 。 2 3：算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 （1）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进 行的， 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的， 它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向
4、的 算法结构。 （3）循环结构 ： 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况， 这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称 重复结构，循环结构可细分为两类： 一类是当型循环结构 另一类是直到型循环结构 当型循环结构 直到型循环结构 4：输入、输出语句和赋值语句：输入、输出语句和赋值语句 （1）输入语句）输入语句 输入语句的一般格式 输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指 程序在运行时其值是可以变化的量；输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或 表达
5、式 ； 提示内容与变量之间用分号“ ； ”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“， ”隔开。 （2）输出语句输出语句 输出语句的一般格式 输出语句的作用是实现算法的输出结果功能； “提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式 是指程序要输出的数据；输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 （3）赋值语句）赋值语句 赋值语句的一般格式 A 成立 不成立 P 不 成 立 P 成 立 A 图形计算器 格式 INPUT“提示内容” ；变量INPUT “提示内容” ，变量 PRINT“提示内容” ；表达式 图形计算器 格式 Disp “提示内容” ，变量 变量表达式 图形计算器 格式表达式
6、变量 3 赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；赋值语句中的“”称作赋值号，与数学中的等 号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量；赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；对 于一个变量可以多次赋值。 注意：注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。赋值号左右不能对换。 如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。 （如化简、因式 分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 5：条件语句：条件语句 （1）条件语句的一般格式
7、有两种：IFTHENELSE 语句；IFTHEN 语句。 IFTHENELSE 语句 图 1 图 2 IFTHEN 语句 IFTHEN 语句的一般格式为图 3，对应的程序框图为图 4。 6：循环语句：循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当 型（WHILE 型）和直到型（UNTIL 型）两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 （1）WHILE 语句语句 WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是 （2）UNTIL 语句语句 UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是 IF 条 件 THEN 语句 1 ELSE 语
8、句 2 END IF 否 是 满 足 条 件？ 语 句 1 语 句 2 IF 条件 THEN 语句 END IF （图 3） 满足条件？ 语句 是 否 （图 4） WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件？ 循环 体 否 是 满足条件？ 循环体 是 否 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 4 （1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在 WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环 体，在 UNTIL 语句中，是当条件不满足时执行循环 7：辗转相除法与更相减损术：辗转相除法与更相减损术 （1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 用较大的数 m
9、 除以较小的数 n 得到一个商和一个余数； 若0，则 n 为 m，n 的最大 0 S 0 R 0 R 公约数；若0，则用除数 n 除以余数得到一个商和一个余数；若0，则为 m，n 的最 0 R 0 R 1 S 1 R 1 R 1 R 大公约数；若0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；依次计算直至0， 1 R 0 R 1 R 2 S 2 R n R 此时所得到的即为所求的最大公约数。 1n R （2）更相减损术 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。以较大的数 减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等
10、 为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 （3）辗转相除法与更相减损术的区别： 都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转 相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相 等而得到 8：秦九韶算法：秦九韶算法 （1）秦九韶算法概念： f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-
11、2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0 求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即 v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次 多项式的值，即 v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，.，vn=vn-1x+a0，这样，把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个 一次多项式的值的问题。 9：进位制：进位制 （1）概念：进位制（1）概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的 个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制，简称 n 进制。 一般地，若 k
12、 是一个大于一的整数，那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为： ， 110( )110 .(0,0,.,) nnknn a aa aakaa ak 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数 5 二：统计二：统计 1：简单随机抽样：简单随机抽样 （1）总体和样本 在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体把每个研究对象叫做个体把总体中个体的总数叫做 总体容量 为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：， ， ， 研究，我们称它为样 本其中个体的个数称为样本容量 （2）简单随机抽样特点是 ： 每个样本单位被抽中的可能性相同
13、（概率相等） ，样本的每个单位完全独立。 （3）简单随机抽样常用的方法： 抽签法随机数表法 （4）抽签法步骤（自己补充） （5）随机数表法步骤（自己补充） 2：系统抽样：系统抽样 （1）系统抽样（等距抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本 采用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） （2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。 3：分层抽样：分层抽样 （1）分层抽样（类型抽样）： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各 个类型或层次中采用简单
14、随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来 构成总体的样本。 （2） 分层的比例问题：抽样比= 样本容量各层样本容量 个体容量各层个体容量 类别共同点各自特点相互关系适用范围 简单随机抽 样 从总体中逐个抽取总体中的个体数 较少 系统抽样将总体均匀分成几部分，按事先确定 的规则在各部分抽取 再起时部分抽样时采用简 单随机抽样 总体中的个数较 多 分成抽样 抽样过程中每 个个体被抽取 的机会相等 经总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机 抽样 总体由差异明显 的几部分组成 6 4：用样本的数字特征估计总体的数字特征：用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）样本均
15、值： n xxx x n 21 （2）样本标准差： n xxxxxx ss n 22 2 2 12 )()()( （3）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多个） 。 （4）中位数：在样本数据中，累计频率为 1.5 时所对应的样本数据值（只有一个） 。 注意： 如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k，标准差变为原来的 k 倍 5:用样本的频率分布估计总体分布用样本的频率分布估计总体分布 1：频率分布表与频率分布直方图 频率分布表盒频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度
16、，来表示数据分 布规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况。 具体步骤如下： 第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差. 第二步：决定组距和组数：组距与组数的确定没有固定标准，需要尝试、选择，力求有合适的组数， 以能把数据的规律较清楚地呈现为准.太多或太少都不好，不利对数据规律的发现.组数应 与样本的容量有关，样本容量越大组数越多.一般来说，容量不超过 100 的组数在 5 至 12 之间.组距应最好“取整” ，它与有关. 组距 极差 注意：组数的“取舍”不依据四舍五入，而是当不是整数时，组数=+1. 组距 极差 组距 极差 频率分布折线图 ：连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点，就得到频率分布折线图。 总体密度曲线：总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比，它能给我们提
