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1、一正弦、余弦、正切函数图象和性质 函 数 正弦函数Rxxy,sin余弦函数Rxxy,cos正切函数tan , 2 yx xk 有 界 性 有界 有界 无界 定 义 域 ),(),( |, 2 x xkkZ 值 域 1 , 1 当时，)(2 2 Zkkx 1 max y 当时，)(2 2 Zkkx 1 min y 1 , 1 当时，)(2Zkkx1 max y 当时，)(2Zkkx 1 min y ),( 周 期 性 是周期函数，最小正周期2T是周期函数，最小正周期2T T 奇 偶 性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于轴对称y 奇函数，图象关于原点对称 单 调 性 在)(,2 2 ,2
2、 2 Zkkk 上是单调增函数 在 )(,2 2 3 ,2 2 Zkkk 上是单调减函数 在上)(,22 ,2Zkkk 是单调增函数 在上 是 单)(,2,2Zkkk 调减函数 在(,),() 22 kkkZ 上是单调增函数 对 称 轴 )( , 2 Zkkx )( ,Zkkx 对 称 中 心 )() 0 , (Zkk)() 0 , 2 (Zkk (,0) () 2 k kZ 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3-2 43 2 - o y x 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2
3、 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x y=tanx 3 2 2 - 3 2 - - 2 o y x y=cotx 3 2 2 2 - - 2 o y x （一） 三角函数的性质 （一） 三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：ysinx，ytanx；偶函数：ycosx. （2） 型三角函数的奇偶性 （）g（x） （xR） g（x）为偶函数 由此得 ； 同理， 为奇函数 . （） 为偶函数 ； 为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （）基本三角函数的周期ysinx，ycosx 的周期为 ；ytanx，ycotx
4、 的周期为 . （） 型三角函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . （2）认知 （） 型函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . （） 的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同， 即对 y 的解析式施加绝对值后， 该函数 的周期不变.注意这一点与（）的区别. （）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验猜想证明. （3）特殊情形研究 （）ytanxcotx 的最小正周期为 ； （） 的最小正周期为 ； （）ysin4xcos4x 的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、
5、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； 获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y 型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 换元、分解：令 u ，将所给函数分解为内、外两层：yf（u），u ；
6、 套用公式 ： 根据对复合函数单调性的认知，确定出 f（u）的单调性，而后利用（1）中公 式写出关于 u 的不等式； 还原、结论：将 u 代入中 u 的不等式，解出 x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin （A、0） 定义域RRR 值域 1, 1 1, 1 RR AA, 周期性 22 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 当非奇非偶, 0 当奇函数, 0 单调性 2 2 ,2 2 k k 上 为 增 函 数； 2 2 3 ,2 2 k k 上 为 减 函 数 （）Zk ； 2 ,12 k k 上 为 增 函 数 12 ,2 k k 上
7、为 减 函 数 （）Zk kk 2 , 2 上为增函数（Zk ） 上为减函1,kk 数（）Zk )( 2 1 2 ),( 2 2 A k A k 上为增函数； )( 2 3 2 ),( 2 2 A k A k 上为减函数（Zk ） 注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般xysinxysinxycosxycos 地，若在上递增（减） ，则在上递减（增）.)(xfy ,ba)(xfy,ba 与的周期是. xysinxycos 或（）的周期.)sin(xy)cos(xy0 2 T 的周期为 2（，如图，翻折无效）. 2 tan x y 2TT 的对称轴方程是（） ，对称中心（） ；的对
8、称轴方)sin(xy 2 kxZk 0 , k)cos(xy ZkkxRxx, 2 1 |且 ZkkxRxx,|且 xycotxytan xycos xysin O y x 程是（） ，对称中心（） ；的对称中心（）.kx Zk 0 , 2 1 k )tan(xy0 , 2 k xxyxy2cos)2cos(2cos 原点对称 当；.tan, 1tan)( 2 Zkk tan, 1tan)( 2 Zkk 与是同一函数,而是偶函数，则xycos kxy2 2 sin )(xy )cos() 2 1 sin()(xkxxy . 函数在上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
9、xytanR 为增函数，同样也是错误的.xytan 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件 ： 一是定义域)(xf 关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数 ：，奇函数 ：） )()(xfxf)()(xfxf 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不xytan ) 3 1 tan(xy 关于原点对称） 奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）x0)(xf 0)0(fx0 xysin 不是周期函数；为周期函数（） ；xysinT 是周期函数（如图） ；为周期函数（） ； xycosxycos T 的周期为（
10、如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 2 1 2cosxy .Rkkxfxfy),(5)( 有. a b babaycos)sin(sincos 22 yba 22 二、形如的函数：、形如的函数：sin()yAx 1、几个物理量1、几个物理量：A振幅；频率（周期的倒数） ；相位；初相； 1 f T x 2、函数表达式的确定2、函数表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确sin()yAx 定，如如，的图象如图所示，则( )sin()(0,0f xAxA|) 2 _（答：） ；( )f x 15 ( )2sin() 23 f xx 3函数BxAy)sin(），（其中
11、00A 最大值是，最小值是，周期是，最小正周期BAAB 2 T | 2 T 2 23 3题题图图 2 2 9 9 Y Y X X -2 2 3 y x y=cos|x|图象 1/2 y x y=|cos2x+1/2|图象 频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡 2 fx)( 2 Zkkx 是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。By 4、研究函数性质的方法 ： 类比于研究的性质4、研究函数性质的方法 ： 类比于研究的性质，只需将sin()yAxsinyxsin()yAx 中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意 A 和的求的单调区间时，要特别注意 A 和的xsinyxxsin(
12、)yAx 符号，通过诱导公式先将化正。如符号，通过诱导公式先将化正。如 （1）（1）函数的递减区间是_（答：） ；2 3 ysin(x) 5 1212 k,k(kZ ) （2）（2）的递减区间是_（答：） ； 1 2 34 x ylog cos() 33 66 44 k, k(kZ ) 5、函数图象的画法函数图象的画法：（1）利用“五点法”作函数(其中sin()yAxRxxAy),sin( )的简图，是将看着一个整体，先令列表求出对应的 的值0, 0Ax 2 , 2 3 , 2 , 0 xx 与的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。图象变换法 ： 这是作函数y 简图常用方法=
13、由图象推的图象图象推的图象sinyxsin()yAxk 6函数的图象与图象间的关系函数的图象与图象间的关系：图象变换sin()yAxksinyx (1)振幅变换 Rxxy,sin 倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A1)A(01)(A Rxxy,sinA (2)周期变换 Rxxy,sin 倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短 1 1)(01)( Rxxy,sin (3)相位变换 Rxxy,sin 个单位长度平移或向右所有点向左|0)(0)( Rxxy, )(sin (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的k0, 上移；k0,下移 (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的k
14、0, 上移；k0,下移 具体变换方法：三角函数图象的平移和伸缩三角函数图象的平移和伸缩 函数的图象与函数的图象之间可以通过变化 sin()yAxksinyx 来相互转化影响图象的形状，影响图象与 轴交点的位置 由 Ak一一一A一k一 x 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称A 相位变换，由 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换既可以将三角函数的图象先平k 移后伸缩也可以将其先伸缩后平移 （一）先平移后伸缩先平移后伸缩 的图象得 sinyx 向左(0)或向右(0) 平移个单位长度 sin()yx 的图象得 sin()yx () 横坐标伸长(0 1) 1 到原来的纵坐标不变 sin()yx 的图象得 sin()yx () AA A 纵坐标伸长(1)或缩短(0 1) 为原来的 倍 横坐标不变 sin()yAx 的图象得图象 sin()yAx (0)(0)kk k 向上或向下 平移个单位长度 sin()yAxk （二）先伸缩后平移（二）先伸缩后平移 的图象得 sinyx
