1006编号高中数学必修五全套教案

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1、探索研究探索研究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关 系。如图 11-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义，有，又, si n a A c si n b B c si n1 c C c 则 b c si nsi nsi n abc c ABC 从而在直角三角形 ABC 中， C a B si nsi nsi n abc ABC (图 11-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 11-3，当ABC 是锐角

2、三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的 定义，有 CD=,则， Csi nsi naBbA si nsi n ab AB 同理可得， b a si nsi n cb CB 从而 A c B si nsi n ab AB si n c C (图 11-3) 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 si nsi n ab AB si n c C 理解定理理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使，；si nakAsi nbkBsi nckC （2）等价于， si nsi n ab A

3、B si n c C si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； si n si n bA a B 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。si nsi n a AB b 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。 例题分析例题分析 例 1在中，已知，cm，解三角形。ABC 0 32.0A 0 81.8B42.9a 解：根据三角形内角和定理， 0 180()CA B 000 180(32.081.8 ) ； 0

4、66.2 根据正弦定理， ； 0 0 sin42.9sin81.8 80.1() sin sin32.0 aB bcm A 根据正弦定理， 0 0 sin42.9sin66.2 74.1(). sin sin32.0 aC ccm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边ABC20a28b 0 40A 0 1 长精确到 1cm）。 解：根据正弦定理， 0 sin28sin40 sin0.8999. 20 bA B a 因为，所以，或 0 0B 0 180 0 64B 0 116 .B 当时， 0 64B ， 00000 180()

5、180(4064 ) 76CA B 0 0 sin20sin76 30(). sin sin40 aC ccm A 当时， 0 116B ， 00000 180() 180(40116 ) 24CA B 0 0 sin20sin24 13(). sin sin40 aC ccm A 补充练习补充练习已知ABC 中，求si n : si n : si n1: 2: 3ABC:a b c （答案：1：2：3） （2）正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A

6、、B 均未知，所以较难求边 c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图 11-5，设，那么，则 C Ba C A b ABc cab b c C B 2 22 2 2 cc cabab a ab ba b aba b a 从而 (图 11-5) 222 2coscababC 同理可证 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 于是得到以下定理 余弦定理余弦定理 ： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考 ：

7、 这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由 三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac C ba 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考 ： 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若ABC 中，C=，则，这时 0 90cos0

8、C 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析例题分析 例 1在ABC 中，已知，求 b 及 A2 3a62c 0 60B 解： 222 2cosbacacB =cos 22 (2 3)( 62)2 2 3 ( 62) 0 45 = 2 12 ( 62)4 3( 3 1) =8 2 2.b 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A 解法一：cos 222222 (2 2)( 62 )(2 3)1, 22 2 2 2 ( 62) bca A bc 0 60 .A 例 2在ABC 中，已知，解三角形134.6acm87.8bcm161.7ccm 解：由

9、余弦定理的推论得： cos 222 2 b ca A bc 222 87.8161.7134.6 2 87.8 161.7 0.5543, ； 0 56 20A cos 222 2 cab B ca 222 134.6161.787.8 2 134.6 161.7 0.8398, ； 0 32 53B 0000 180() 180(56 2032 53)CA B 补充练习补充练习在ABC 中，若，求角 A（答案：A=120 ） 222 abcbc 0 .课时小结.课时小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已

10、知两边及它们的夹角，求第三边。 随堂练习 1随堂练习 1 （1）在ABC 中，已知，试判断此三角形的解的情况。80a100b 0 45A （2）在ABC 中，若，则符合题意的 b 的值有_个。1a 1 2 c 0 40C （3） 在ABC 中， 如果利用正弦定理解三角形有两解， 求 xaxcm2bcm 0 45B 的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3）22 2x 22在ABC 中，已知，判断ABC 的类型。7a5b3c 分析：由余弦定理可知 222 222 222 是直角ABC 是直角三角形 是钝角ABC 是钝角三角形 是锐角 abcA abcA abcA ABC 是锐角三角形

11、（注意：）是锐角A ABC 是锐角三角形 解：，即， 222 753 222 abc 。ABC 是钝角三角形 随堂练习 2随堂练习 2 （1）在ABC 中，已知，判断ABC 的类型。 si n : si n : si n1: 2: 3ABC （2）已知ABC 满足条件，判断ABC 的类型。 coscosaA bB （答案：（1）；（2）ABC 是等腰或直角三角形）ABC 是钝角三角形 2.在2.在ABC 中，面积为，求的值 0 60A1b 3 2si nsi nsi n abc ABC 分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理 111 si nsi nsi n 222 SabCacBbcA si

12、 nsi n ab AB si n c C si nsi nsi n abc ABC 解：由得， 13 si n 22 SbcA2c 则= =3，即， 222 2cosabcbcA3a 从而 si nsi nsi n abc ABC 2 si n a A .课堂练习.课堂练习 （1）在ABC 中，若，且此三角形的面积，求角 C55a16b220 3S （2）在ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积，求角 C 222 4 abc S （答案：（1）或；（2） 0 60 0 120 0 45 .课时小结.课时小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解

13、等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 .课后作业.课后作业 （1）在ABC 中，已知，试判断此三角形的解的情况。4b10c 0 30B （2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。 （3）在ABC 中，判断ABC 的形状。 0 60A1a2bc （4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根， 2 5760 xx 求这个三角形的面积。 例 1、例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后 从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0 n

14、mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发 到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1,距离精确到 0.01n mile) 解：在ABC 中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理， AC=ABCBCABBCABcos2 22 = 137cos 0 . 54 5 . 672 0 . 54 5 . 67 22 113.15 根据正弦定理, = CAB BC sinABC AC sin sinCAB = AC ABCBCsin = 15.113 137sin0.54 0.3255, 所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0 答

15、:此船应该沿北偏东 56.1的方向航行,需要航行 113.15n mile 补充例 2、补充例 2、 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45相距 9 海里的 C 处有一艘走私船， 正沿南偏东 75 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线 方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 解 ： 如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10 x, AB=14x,AC=9, ACB=+= 7545120 (14x) = 9 + (10 x) -2910 xcos 222 120 化简得 32x -30 x-27=0，即 x=,或 x=-(舍去) 2 2 3 16 9 所以 BC = 10 x =15,AB =14x =21, 又因为 sinBAC = AB BC 120sin