《2021学年高中数学第一章坐标系1.5.2球坐标系学案新人教B版选修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021学年高中数学第一章坐标系1.5.2球坐标系学案新人教B版选修4（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1(2021 年学科教研组精选汇编)5.2球 坐 标 系1(2021 年学科教研组精选汇编)5.2球 坐 标 系 对应学生用书P16 读教材填要点 1(2021 年学科教研组精选汇编)球坐标系 设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM 和OM0，设z轴的正向与向量OM 的夹角为，x轴的正向与OM 0的夹角为，M点到原 点O的距离为r，则由三个数r，构成的有序数组(r，)称为空间中点M的球 坐标在球坐标中限定r0，00，y0)， y x 4 所以知M点的球坐标为. (2， 4 ， 4) 由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，)，
2、再利用变换公 3 式Error!求出r，代入点的球坐标即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos y x 求解 特别注意由直角坐标求球坐标时，和的取值应首先看清点所在的象限，准确取 z r 值，才能无误 2设点M的直角坐标为，求它的球坐标 ( 2 4 ， 6 4 ， 2 2) 解：由变换公式得 r1.x2y2z2 2 16 6 16 2 4 由rcos z得 cos ，. 2 2 2 2 3 4 又 tan (r0，y0)， y x 3 得， 3 M的球坐标为. (1， 3 ，3 4) 球坐标系的应用 例 3在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的 射线Ox
3、为极轴， 建立坐标系 有A，B两个城市， 它们的球坐标分别为AR，BR， 6 4 2 3 .飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程 4 思路点拨本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离 解答本题需要搞清球的 大圆的圆心角及求法 精解详析如图所示，因为A， (R， 6 ， 4) B， (R， 2 3 ， 4) 可知AOO1O1OB， 4 4 O1AOO1BO. 4 又EOC，EOD， 6 2 3 COD. 2 3 6 2 AO1BCOD. 2 在 RtOO1B中，O1BO，OBR， 4 O1BO1AR. 2 2 AO1B，ABR. 2 在AOB中，ABOBOAR，AOB. 3 故飞机
4、沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R. 3 我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时， 飞行最快求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离 3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐 标分别为A，B8，B，求出这两个截面间的距离 (8， A， 4) 3 4 解：由已知，OAOB8，AOO1， 4 BOO1. 3 4 在AOO1中，OO14.2 在BOO2中，BOO2，OB8， 4 OO24，则O1O2OO1OO28.22 即两个截面间的距离O1O2为 8.2 对应学生用书P18 5 一、选择题 1(2021 年学
5、科教研组精选汇编)已知一个点P的球坐标为，点P在xOy (2， 3 4 ， 4) 平面上的投影点为P0，则与 0 OP 的夹角为() AB. 4 3 4 C. D. 2 3 解析：选 A， 3 4 OP与OP0之间的夹角为. | 2 | 4 2点M的球坐标为(r，)(，(0，)，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐 标为() A(r，) B(r，) C(r，) D(r，) 解析：选 D设点M的直角坐标为(x，y，z)，则点M关于(0,0,0)的对称点M的直角 坐标为(x，y，z)，设M的球坐标为(r，)，因为Error! 所以Error! 可得Error! 即M的球坐标为(r，) 3点P的球坐
6、标为，则它的直角坐标为() (1， 2) A(1,0,0) B(1，1,0) C(0，1,0) D(1,0,0) 解析：选 Dxrsin cos 1sin cos 1， 2 yrsin sin 1sinsin 0， 2 zrcos 1cos0， 2 它的直角坐标为(1,0,0) 4已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空 ( 2， 4 ，5) ( 6， 3 ， 6) 6 间直角坐标系中的点的坐标为() AP(5,1,1)，B( 3 6 4 ， 3 2 4 ， 6 2) BP(1,1,5)，B( 3 6 4 ， 3 2 4 ， 6 2) CP，B(1,1,5) ( 3 6 4 ， 3
7、2 4 ， 6 2) DP(1,1,5)，B( 6 2 ， 3 6 4 ， 3 2 4) 解析：选 B球坐标与直角坐标的互化公式为Error! 柱坐标与直角坐标的互化公式为Error! 设P点的直角坐标为(x，y，z)， 则xcos 1，2 4 2 2 2 ysin 1，z5.2 4 设B点的直角坐标为(x，y，z)， 则xsin cos ，6 3 6 6 3 2 3 2 3 6 4 ysin sin ，6 3 6 6 3 2 1 2 3 2 4 zcos .6 3 6 1 2 6 2 所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为. ( 3 6 4 ， 3 2 4 ， 6 2) 二、填
8、空题 5以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方 向为z轴正向， 本初子午线所在平面为zOx坐标面， 如图所示 若某地在西经60， 南纬45， 地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为_ 7 解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R，. 5 3 3 4 答案：(R，5 3 ，3 4) 6已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是 (4， 3 4 ， 4) _ 解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标 答案：(2,2,2)2 (2 2， 3 4 ，2 2) 7设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为_2 解析：由坐标变换公式， 得r2，x2y2
9、z2112 cos ，. z r 2 2 4 tan 1， y x 1 1 又x0，y0，. 5 4 M的球坐标为. (2， 5 4 ， 4) 答案：(2，5 4 ， 4) 8在球坐标系中，方程r1 表示_，方程表示空间的_ 4 解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状 答案：球心在原点，半径为 1 的球面顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面 2 三、解答题 9如图，请你说出点M的球坐标 解：由球坐标的定义，记|OM|R，OM与z轴正向所夹的角为.设M在xOy平面上的 8 射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点M的位置就可以 用有序数组(R，)表示 M点的球坐标为M(R
10、，) 10已知点P的球坐标为，求它的直角坐标 (2， 7 6 ，3 4) 解：根据坐标变换公式Error! 得Error! 点P的直角坐标为. ( 6 2 ， 2 2 ， 2) 11(2021 年学科教研组精选汇编)如图，建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为 1， 求A，B，C，D的球坐标(其中O是BCD的中心) 解：O是BCD的中心，则OCODOB，AO. 3 3 6 3 C，D，B，A. ( 3 3 ，0， 2)( 3 3 ，2 3 ， 2)( 3 3 ，4 3 ， 2)( 6 3 ，0，0) 对应学生用书 P19 9 对应学生用书 P19 利用平面直角坐标系解决几何问题 1(2021
11、年学科教研组精选汇编)利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要是兼顾 到它们的对称性， 尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点) 2坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单 例 1线段AB与CD互相垂直且平分于点O，|AB|2a，|CD|2b，动点P满足 |PA|PB|PC|PD|，求动点P的轨迹方程 解以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，如图所 示设P(x，y)， 则A(a,0)，B(a,0)，C(0，b)，D(0，b)，由题设，知 |PA|PB|PC|PD|. xa2y2xa2y2 .x2yb2x2yb2 化简得x2y2， a2b2 2 动
12、点P的轨迹方程为x2y2. a2b2 2 平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换Error!的作用下，点P(X，Y)对应 点P(x，y)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 例 2在同一平面直角坐标系中， 经过伸缩变换Error!后， 曲线C变为曲线(X5)2(Y 6)21，求曲线C的方程，并判断其形状 解将Error!代入(X5)2(Y6)21 中， 得(2x5)2(2y6)21.化简，得 2(y3)2 . (x 5 2) 1 4 该曲线是以为圆心， 为半径的圆. ( 5 2，3) 1 2 10 极坐标的求法 1 (2021 年学科教研组精选
13、汇编)在给定的平面上的极坐标系下， 有一个二元方程F(， )0.如果曲线C是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(，) 0 为曲线C的极坐标方程 2平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有 不同之处一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里 要求至少有一组能满足极坐标方程 3求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用注 意求谁设谁，找出所设点的坐标，的关系 例 3ABC的底边BC10，A B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹 1 2 的极坐标方程 解如图，令A(，) ABC内，设B，
14、A， 2 又|BC|10，|AB|，所以由正弦定理，得 sin(3 2) .化简，得A点轨迹的极坐标方程为1020cos . 10 sin 2 极坐标与直角坐标的互化 1(2021 年学科教研组精选汇编)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位 2互化公式为xcos ，ysin 2x2y2 tan y xx 0 3直角坐标方程化极坐标方程可直接将xcos ，ysin 代入即可，而极坐 标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos ，sin 的整体形式，然后用x，y 代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性 例 4把
15、下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线 11 (1)2acos (a0)； (2)9(sin cos )； (3)4； (4)2cos 3sin 5. 解(1)2acos ，两边同时乘以， 得22acos ，即x2y22ax. 整理得x2y22ax0，即(xa)2y2a2. 它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆 (2)两边同时乘以得29(sin cos )， 即x2y29x9y， 又可化为 22 . (x 9 2)(y 9 2) 81 2 它是以为圆心，以为半径的圆 ( 9 2， 9 2) 9 2 2 (3)将4 两边平方得216，即x2y216. 它是以原点为圆心，以
16、4 为半径的圆 (4)2cos 3sin 5，即 2x3y5. 它是一条直线. 柱坐标系与球坐标系 1(2021 年学科教研组精选汇编)柱坐标：设M是空间内任意一点，它在xOy平面上的 射影为M0，用(，)(0,02)来表示点M0在平面xOy上的极坐标这时点M 的位置可由有序数组(，z)表示，叫做点M的柱坐标 2 球坐标 ： 建立空间直角坐标系O xyz， 设M是空间任意一点， 连接OM， 记|OM|r，OM 与Oz轴正向所夹的角为， 设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时， 所转过的最小正角为，则M(r，)为M点的球坐标 例 5在柱坐标系中，求满足Error!的动点M(，z)围成的几何体的体积 解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足1,00，b0， a ，b . 1 3 1
