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1、八年级数学八年级数学 勾股定理及其常考题型勾股定理及其常考题型 勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.结合直角三角形图形，用字母 可表示为：，如下图，a、b 为直角边，c 为斜边。 222 abc 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形统一”的数学思想，将初中几何与代数很好的联 系起来。因此，学好勾股定理这一知识点对于我们解决数学问题有很大的帮助，下面我们具体来看看初中数学有关勾股 定理的一些常见题型及其解答方法。 一、边的计算一、边的计算 1、在 RtABC 中，C90，若 a=6，b=8，则 c= 解：因为，所以 c=10。
2、 222 abc 评论：直接由勾股定理所以得评论：直接由勾股定理所以得 2、在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，则斜边上的高 CD 的长为（ ） ABCD 12 5 5 5 2 5 2 5 7 解：由勾股定理知：AB=5，又因为 SABC =ACBC=ABCD 2 1 2 1 即：34=5CD,所以 CD= 2 1 2 112 5 评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高。评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高。 3、若一直角三角形两边的长为 12 和 5，则第三边的长为（ ） A13 B13 或 C13 或 15 D15119 解：当 12 对应的边
3、为斜边时，此时由勾股定理得第三边为119 当 12 对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由得第三边的长为 13 222 abc 评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。 4Rt一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt的周长为（） A、121B、120C、132D、不能确定 解：设该 Rt的三边分别为 a、b、c，a、b 为直角边，c 为斜边 由勾股定理知：，即：112 b 2 = c2 222 abc 所以（b+c） （cb）=121 因为 b、c 都为自然数，所以 b+c，cb，都为正自然数。 又因为 12
4、1 只有 1、11、121 这三个正整数因式，所以 b+c=121，cb=1。所以 b=60，c=61 评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。 二、直角三角形的判定二、直角三角形的判定 5、 在ABC 中中，a、b、c 为A、B、C 的对边，给出如下的命题： 若A： B： C1： 2： 3，则ABC 为直角三角形 ；若AC一B，则ABC 为直角三角形 ；若， 4 5 ca ，则ABC 为直角三角形；若 a：b：c5：3：4，则ABC 为直角三
5、角形；若（ac） （ac）b2，则 3 5 ba ABC 为直角三角形；若(ac)22acb2，则ABC 为直角三角形；若12,9,B15, 则ABC 为直 角三角形。上面的命题中正确的有（） A6 B7 C8 D9 解：对，因为三角形内角和为 180 度，所以A+B+C180，因为A：B：C1：2：3，所以C=180 2 1 所以C=90则ABC 为直角三角形， 正确。 对， 因为A+B+C180， 而AC 一B， 所以C 一B+B+C 180所以C=90，即ABC 为直角三角形，正确。对，设 a=5k，因为，则 c=4k， 4 5 ca 3 5 ba C2 b 2 = a2 所以为ABC
6、直角三角形. 正确，同理易知正确，对，因为（ac） （ac）b2 所以a2 c2 = b2 ，所以ABC 为直角三角形正确，对，因为(ac)22acb2，所以 a2 +c2+2ac=2acb2 所以 a2 +c2=b2 正 确，对，因为12,9,15，所以 AB2 +AC2=BC2所以正确。答案选 B 评论 ： 直角三角形的评定可以从角和边两方面来进行， 从角来判定需结合三角形内角和定理， 从边来判定需结合勾股定理。 一般是验证最大边的平方是否等于两小边的平方和。 评论 ： 直角三角形的评定可以从角和边两方面来进行， 从角来判定需结合三角形内角和定理， 从边来判定需结合勾股定理。 一般是验证最
7、大边的平方是否等于两小边的平方和。 三、翻折三、翻折 6、矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图 18-1 方式折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DE=_cm 解：设 DE 为 x，因为 DE 是由 BE 翻折过来的， 所以 DE=BE=x,则 AE=10 x，在RtABD 中： B C A C E D F 图 18-1 D A B C D A B C AD2 +AE2=DE2 所以：42 +（10 x） 2= x 2 解得 x=5.8 cm 评论 ： 翻折和旋转是初中数学常见的题型，解答这类题的关键在于把握翻折和旋转前后的联系，主要是看清哪些量没变，
8、抓住这些不变的量，以此为突破口便可以顺利解决。本题的不变量是 评论 ： 翻折和旋转是初中数学常见的题型，解答这类题的关键在于把握翻折和旋转前后的联系，主要是看清哪些量没变， 抓住这些不变的量，以此为突破口便可以顺利解决。本题的不变量是 DE 和和 BE 的长度，抓住这个关系，再通过勾股定理 建立等式，在直角三角形中便可解出边长的长度。 的长度，抓住这个关系，再通过勾股定理 建立等式，在直角三角形中便可解出边长的长度。 四、爬行四、爬行 7如图，有一个圆柱，它的高等于 16cm，底面半径等于 4cm，在 圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的AAB 点处的食物，需要爬行的最短路程是
9、 cm （取 3） 解 ： 蚂蚁要沿圆柱体侧面爬，将圆柱体的侧面沿蚂蚁所在的垂直于底面的直线切开，展开后是一个长为 8，宽为 16 的长 方形， 蚂蚁所在的是一个顶点， 而相对的点则是对面那条长为 8 的边的中点。 所以根据勾股定理， 两点之间的距离为 d，d2 =(8)2 +(16)2从而解出 d。 评论：爬行问题是勾股定理的一大重要应用，关键在于将立体图形转化为平面图形，从而简单便捷地找出最短距离，然 后再利用勾股定理求出边长。 评论：爬行问题是勾股定理的一大重要应用，关键在于将立体图形转化为平面图形，从而简单便捷地找出最短距离，然 后再利用勾股定理求出边长。 8已知长方体的长为 2cm、
10、宽为 1cm、高为 4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从 A 点爬到 B点,那么沿哪条路最近,最 短的路程是多少? 解：将长方体的侧面 B BCC 展开到与长方体的正面 AC CA在同一平面内， 得到长方形 AB BA,长 AB=3 cm,宽 A A=4， 蚂蚁沿长方体的表面从 A 点爬到 B点最短距离即为长方形AB BA的对角线 A B长。由勾股定理易知 A B=5. 五、图形变换 五、图形变换 9如图 2（1） ，是小红用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a 和 b，斜边长为 c，如图 2（2） 是以 c 为直角边的等腰直角三角形，她想将它们拼成一个能证明勾股定理的图形
11、，可以吗？ （1）如果能，请你画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？ （2）用这个图形证明勾股定理 （3）假设图 2（1）中的图有若干个，你能运用（1）中所示的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请画出 拼后的示意图 （无需证明） 23， （1）如图是直角梯形. （2）因为 S梯形(a+b)(a+b)(a+b)2，S2ab+c2ab+c2，所以(a+b)2ab+c2，即 a2+b2c2.（3）如图 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 所示. 评论：这是一道图形换的题，具体涉及到图形的拼凑，解决勾股定理这方面的试题关键是要对课本勾股定理证明涉及到 的几种常见的
12、图形以及证明过程和原理要熟练掌握，再利用适当的迁移便可以解答了。 评论：这是一道图形换的题，具体涉及到图形的拼凑，解决勾股定理这方面的试题关键是要对课本勾股定理证明涉及到 的几种常见的图形以及证明过程和原理要熟练掌握，再利用适当的迁移便可以解答了。 六、实际应用六、实际应用 10，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图 5 所示，ACB90，AC80 米，BC60 米，若线段 CD 是一条小渠，且 D 点在边 AB 上，已知水渠的造价为 10 元/米，问 D 点在距 A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价 是多少？ 解：当 CD 为斜边上的高时，CD 最短，从而水渠造价最低.因为
13、 CDABACBC ，所以 CD AC BC AB 48 米，所以 AD 2222 8048ACCD64 米.所以，D 点在距 A 点 64 米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为 480 元. c c b a b a 图 5 11有一只小鸟在一棵高 4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m，高 20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声， 它立刻以 4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 解：如图所示，根据题意，得 AC=20-4=16，BC=12 根据勾股定理，得 AB=20则小鸟所用的时间是 204=5（s） 评论：解答勾股定理的实际应用题，首先要审清题意，然后找出试题情景中涉及到的直角三角形，再结合勾股定理便可 以求出了。 在该题中， 我们关键是要根据题意画出勾股定理涉及到的直角三角形图形， 只需求得 评论：解答勾股定理的实际应用题，首先要审清题意，然后找出试题情景中涉及到的直角三角形，再结合勾股定理便可 以求出了。 在该题中， 我们关键是要根据题意画出勾股定理涉及到的直角三角形图形， 只需求得 AB 的长 根据已知条件， 得 的长 根据已知条件， 得 BC=12，AC=20-4=16，再根据勾股定理就可求解，再根据勾股定理就可求解 补充：补充：
