3编号(人教版)高中数学必修四教案

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1、1 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握360 正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4) 掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法 回忆-观察-讲解-归纳-推广. 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了 5 分钟， 你是怎样将它校准的？假如你的手表 快了 1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

2、取出一个钟表,实际操作我们发现， 校正过程中分针需要正向或 反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅 局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容任意0360 角. 【探究新知】 1 初中时， 我们已学习了角的概念， 它是如何定义的呢？0360 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的OA 2 端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的OOB 射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点. OAOBO 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经 常听到这样的术语：“

3、转体” （即转体 2 周） ， “转体” （即7201080 转体 3 周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.360 同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不360 同方向旋转而成的角” 的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和 表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这 些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见， 我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角 叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图 1.1.3(2)7

4、50 中，正角，负角；这样，我们就把角的概念210 150 ,660 推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起 混淆的前提下， “角”或“”可简记为. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必 须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合。那么，x 角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如教材图 1.1-4 中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.30210 要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一 3 个象限,称为非象限角. 4.练习: (1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一

5、定是锐角吗?再分别 就直角、钝角来回答这两个问题. (2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几? 7 ()k kZ 天前的那一天是星期几?100 天后的那一天是星期几?7 ()k kZ 5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有 唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同 的角有什么关系?请结合 4.(2)口答加以分析. 展示课件不难发现,在教材图 1.1-5 中,如果的终边是,32OB 那 么角 的 终 边 都 是,而,328 , 392 OB328321 360 .3923

6、2( 1) 360 设,则角都是的元素,|32360 ,SkkZ 328 , 392 S32 角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,S3232 都是集合 的元素 ； 反过来，集合 的任一元素显然与角终边相同.SS32 一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成 一个集合 ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成|360 ,SkkZ 角与整数个周角的和. 6 例题讲评 例 1. 例 1 在范围内， 找出与角终边相同的角， 并0360 950 12 4 判定它是第几象限角.（注：是指）0360 0360 例 2.写出终边在 轴上的角的集合.y 例 3.写出终边直线在上的

7、角的集合 ,并把 中适合不等式yxSS 360 的元素写出来.720 7.练习 教材第 3、4、5 题. 6 P 注意: （1）； （2）是任意角（正角、负角、零角） ；kZ （3） 终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相 同的角有无数多个，它们相差的整数倍.360 8.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢? (3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在 轴、x 轴、直y 线上的角的集合.yx 五、评价设计 作业：习题 1.1 A 组第 1,2,3 题 1.1.2 弧度制 一、教学目标： 5 （1）理解并掌握弧度制的定义；（2）

8、领会弧度制定义的合理性； （3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练 地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立R 的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度 制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、 割裂的关系. 二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义 ； 熟练地进行角度制与弧度制地互 化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、教学设想 【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约 250 公里，但也有人 回答约160英里， 请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里

9、） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是 因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长 度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1 英里=1.6 公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经 不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制- -弧度制. 【探究新知】1角度制规定 ： 将一个圆周分成 360 份，每一份叫做 1 度，故一周等于 360 度，平角等于 180 度，直角等于 90 度等等. 弧度制是什么呢？1 弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周 呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本 6 ，自行

10、解决上述问题. 67 PP 2.弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1，rad 或 1 弧度，或 1(单位可以省略不写). 3.探究:如图,半径为 的圆的圆心与原点重合, 角r 的终边与 轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆xA 交于点.请完成表格.B 弧的AB 长 旋转的方OB 向 的弧度AOB 数 的度AOB 数 r逆时针方向 2 r逆时针方向 r1 2r2 0 180 180 我们知道， 角有正负零角之分， 它的弧度数也应该有正负零之分， 如-，-2等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度 数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转

11、方向来 决定. 4.思考:如果一个半径为 的圆的圆心角所对的弧长是 ,那么rla y x A O B 7 的弧度数是多少? 角 的弧度数的绝对值是 ：， 其中， l 是圆心角所对的弧长， r l r 是半径. 5.根据探究中填空:180rad ,度1_rad 1_rad 显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解 例 1.按照下列要求,把化成弧度: 67 30 (1) 精确值； (2) 精确到 0.001 的近似值. 例 2.将 3.14换算成角度(用度数表示,精确到 0.001).rad 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算180rad 器计算非特殊角的方法. 7. 填

12、写特殊角的度数与弧度数的对应表: 度03045120120120120 弧 度 3 2 3 2 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了R 一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数) 与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于 这个实数的角）与它对应. 8.例题讲评 例 3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: 8 (1); (2); (3).lR 2 1 2 SR 1 2 SlR 其中是半径, 是弧长,为圆心角, 是扇形的面积.Rl(02 )S 例 4.利用计算器比较和的大小.sin1.5sin85 注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与

13、弧度的区别. 9.练习 教材. 10 P 五、作业：习题 1.1 A 组第 7,8,9 题 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 一、教学目标： （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函 数的定义域和函数值在各象限的符号） ；（2）理解任意角的三角函数 不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将 任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线 表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一； 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数 的定义域和函数值在各象限的符号） ；终边相同的角的同一三角函数

14、 值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数 的定义域和函数值在各象限的符号） ；三角函数线的正确理解. 三、教学设想 第一课时 任意角的三角函数（一） 【创设情境】 y P（a， b） r O M 9 提问：锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函 数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数 吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与 轴的正半轴重合, 那Ox 么它的终边在第一象限.在的终边上任 取 一 点,它 与 原 点 的 距 离( , )P

15、a b .过作 轴的垂线,垂足为 22 0rabPx ,则线段的长度为 , 线段的长MOMaMP 度为 .则;bsin MPb OPr ; .cos OMa OPr tan MPb OMa 思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上P 的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样OP1r 就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： ; ; .sin MP b OP cos OM a OP tan MPb OMa 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那 么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行 修改， 以利推广

16、到任意角呢？本节课就研究这个问题任意角的三 角函数. a的终边 P(x,y ) O x y 10 【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如 何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离 为 1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此 引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位O 长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:( , )P x y (1) 叫做的正弦(sine),记做,即；ysinsiny （2） 叫做的余弦(cossine),记做,即；xcoscosx （3） 叫做的正切(tangent),记做,即. y x tantan(0) y x x 注意:当是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边， 斜边所在