《2021学年高中数学第一章坐标系3柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021学年高中数学第一章坐标系3柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修4（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3 柱坐标系和球坐标系3 柱坐标系和球坐标系 对应学生用书 P15 自主学习 1(2021 年学科教研组精选汇编)柱坐标系 (1)定义 ： 建立空间直角坐标系O xyz，设M(x，y，z)为空间一点，并 设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，)，则这样的三个数r，z构成 的有序数组(r，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，z的变化范围为 0r， 02， z. (2)空间点M的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(r，z)之间的变换公式为Error! 2球坐标系 (1)定义 ： 建立空间直角坐标系O xyz，设M(x，y，z)为空间一点， 点M可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点
2、O到点M 间的距离，为有向线段OM 与z轴正方向所夹的角，为从z轴正半 轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP 的角，这里P为点M 在xOy平面上的投影(如图)这样的三个数r，构成的有序数组(r，) 叫作点M的球坐标，这里r，的变化范围为 0r，0，02. (2)空间点M的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为Error!. 合作探究 1(2021 年学科教研组精选汇编)空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？ 提示 ： 设空间中点M的直角坐标为(x，y，z)， 柱坐标为(r，z)， 球坐标为(r，)， 它们都是有序数组，但意义不同，直角坐标为三个实数；柱坐标分别
3、表示距离、角、实数； 球坐标分别表示距离、角、角 2在极坐标系中，方程0(0为不为 0 常数)，0(0为常数)表示的图形 分别是圆和直线，那么在柱坐标系中，方程1，z1 分别表示空间中的什么曲面？在 球坐标系中，方程r1，分别表示空间中的什么曲面？ 4 提示 ： 在柱坐标系中， 方程1 表示以z轴为中心， 以 1 为半径的圆柱面 ； 方程z1 表示与xOy坐标面平行的平面，此平面与xOy面的距离为 1 且在此坐标面的下方 ； 在球坐标 系中，方程r1 表示球心在原点的单位球面；方程表示顶点在原点，半顶角为的 4 4 2 上半个圆锥面，中心轴为z轴 对应学生用书 P16 将点的直角坐标化为柱坐标
4、或球坐标 例 1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，如图所示建立空间直角坐 标系， 以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标 思路点拨本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标系下点的坐标的 确定及其关系的转化；解答此题需用法一：结合图形分别求三种坐标，法 二：先求出点C1的直角坐标，再分别化为柱坐标、球坐标即可 精解详析设点C1的直角坐标为(x，y，z)， 柱坐标为(，z)， 球坐标为(r，)， 其中0，r0. 法一 ： 结合图形及三种坐标系的概念知C1的直角坐标为(1,1,1)， 柱坐标为， ( 2， 4 ，1) 球坐标为(其中 tan ，0) ( 3， ， 4) 2 法二
5、：由公式Error!及Error! 得Error!及Error!(x0) 又Error!所以Error!及Error! 结合图形得， 4 由 cos 得 tan 3 3 2 所以点C1的直角坐标为(1,1,1)， 柱坐标为， 球坐标为(其中 tan ( 2， 4 ，1) ( 3， ， 4) ，0)2 1(2021 年学科教研组精选汇编)在三种坐标系中确定点的坐标，一般数形结合确定距 离和角大小 2转化点M的直角坐标(x，y，z) (1)为柱坐标(r，z)时， 需要对公式Error!进行变换得Error!且求时要特别注意角 所在象限，从而确定的取值 (2)为球坐标(r，)时，需要对公式Error
6、! 进行变换得Error!(x0) 3 若本例中条件不变，求点C，D的柱坐标与球坐标 解 ： 结合图形知点C的直角坐标为(1,1,0)， 柱坐标为， 球坐标为. ( 2， 4 ，0) ( 2， 2 ， 4) 同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为，球坐标为. (1， 2 ，0) (1， 2 ， 2) 由点的柱坐标求直角坐标 例 2根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)；(2). (2， 5 6 ，3) ( 2， 4 ，5) 思路点拨本题考查关系式Error!的直接应用，设点的直角坐标为(x，y，z)，利用上 述关系式求出x，y，z即可 精解详析(1)(r，z)， (2， 5 6 ，
7、3) Error! (，1,3)为所求3 (2)(r，z)， ( 2， 4 ，5) Error! (1,1,5)为所求 将点的柱坐标(r，z)化为直角坐标，只需运用公式Error!转化成三角函数的求值与 运算即可 1(2021 年学科教研组精选汇编)设点M的柱坐标为，求它的直角坐标 (2， 6 ，7) 解：Error!Error! 所以点M的直角坐标为(，1,7).3 由点的球坐标求直角坐标 例 3设点P的球坐标为(r，).求它的直角坐标 (2， 3 4 ，3 4) 思路点拨本题考查关系式Error!的直接应用， 解答此题需要将r，代入求得x，y，z 4 即可 精解详析(r，)， (2， 3
8、4 ，3 4) Error! 点P的直角坐标为(1,1，)2 利用Error!把点的球坐标化为直角坐标时，应注意坐标r，的几何意义及坐标(r，) 的先后顺序，不要出现前后颠倒的现象 2已知M的球坐标为，求它的直角坐标 (2， 3 4 ，7 6) 解：由变换公式得： xrsin cos 2sincos. 3 4 7 6 6 2 yrsin sin 2sinsin. 3 4 7 6 2 2 zrcos 2cos. 3 4 2 它的直角坐标为. ( 6 2 ， 2 2 ， 2) 对应学生用书 P17 一、选择题 1(2021 年学科教研组精选汇编)设点M的直角坐标为(1，2)，则它的柱坐标3 是()
9、 A.B. (1， 3 ，2) (2， 4 3 ，2) C. D. (2， 3 ，2) (3， 3 ，2) 解析：选 B设点M的柱坐标为(r，z)， 则 tan . y x 3 02，x0， 5 ，r2，z2. 4 3 x cos 1 cos4 3 点M的柱坐标为. (2， 4 3 ，2) 2.如图所示，点M的球坐标为() A.(2， 4 ， 3) B.(2， 3 ， 4) C.(2， 4 ， 6) D.(2， 6 ， 4) 解析：选 A由球坐标的定义知，|OM|2r， MOz，xON， 4 3 又M(r，)，M. (2， 4 ， 3) 3已知点N的球坐标为，则其直角坐标为() (4， 4 ，
10、3 4) A(2,2,2) B(2，2,2)22 C(2，2,2) D(2,2，2)22 解析：选 A设点N的直角坐标为(x，y，z)，则有 Error! 点N的直角坐标为(2,2,2)2 4.如图， 在柱坐标系中， 长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1， (6， 2 ，5) 则此长方体的体积为() A100 B120 C160 D240 解析：选 B由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)， C1，可知|OA|4，|OC|6，|OO1|5， (6， 2 ，5) 故长方体的体积为 456120. 二、填空题 6 5已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是 (4， 4 ，
11、3 4) _ 解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标 答案：(2,2,2)2 (2 2， 3 4 ，2 2) 6设点M的直角坐标为(1，4)，则点M的柱坐标为_3 解析：2.x2y212 32 tan ，又x0，y0， 3 1 3 ，柱坐标为. 5 3(2， 5 3 ，4) 答案：(2，5 3 ，4) 7在球坐标系中，M与N两点间的距离是_ (4， 4 ， 6)(4， 4 ，2 3) 解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则 (4， 4 ， 6) Error! M点的直角坐标为(，2)，622 同理，N点的直角坐标为(，2)262 |MN|4. 6 22 2 622 22 22 答案：4
12、 8在柱坐标系中，已知A，B及O(0,0,0)三点，则ABO的面积 (1， 2 ，0) (1， 2 ，2) 为_ 解析：A，B，O(0,0,0)， (1， 2 ，0) (1， 2 ，2) OAB为直角三角形 SOAB |OA|AB| 121. 1 2 1 2 答案：1 三、解答题 9 如图建立球坐标系， 正四面体ABCD的棱长为 1， 求A，B，C，D的球坐标(其中O是BCD 的中心) 7 解：O是BCD的中心， OCODOB，AO. 3 3 6 3 C，D，B，A. ( 3 3 ， 2 ，0) ( 3 3 ， 2 ，2 3)( 3 3 ， 2 ，4 3)( 6 3 ，0，0) 10在直三棱柱
13、ABCA1B1C1中CACB1，BCA90，棱AA12，M是A1B1的中 点求点M的空间直角坐标、柱坐标 解：建立如图所示坐标系，过点M作底面xCy的垂线，垂足为N，则N为AB中点 N. ( 1 2， 1 2，0) M点的空间直角坐标为M. ( 1 2， 1 2，2) 又CN，ACN. 2 2 4 M点的柱坐标为. ( 2 2 ， 4 ，2) 11(2021 年学科教研组精选汇编)已知点M的柱坐标为，求M关于原点O ( 2， 4 ，1) 对称的点的柱坐标 解：M的直角坐标为 ( 2， 4 ，1) Error! M关于原点O的对称点的直角坐标为(1，1，1) (1，1，1)的柱坐标为： 8 2(
14、1)2(1)22， .2 tan 1，又x0，y0. 1 1 . 5 4 其柱坐标为. ( 2， 5 4 ，1) M 关于原点 O 对称点的柱坐标为.励志名言励志名言 ( 2， 5 4 ，1 ) 学习不一定成功，不学习一定不能成功。期末考，加油！ 生命之中最快乐的是拼搏， 而非成功， 生命之中最痛苦的是懒散， 而非失败。 你要逼自己优秀，然后骄傲的生活，余生还长，何必慌张，以后 的你，会为自己所做的努力，而感到庆幸，别在最好的年纪选择 了安逸。期末考，加油！ 吃别人吃不了的苦， 忍别人受不了地气， 付出比别人更多的努力， 才会享受的比别人更多。 自强不息怀壮志以长行，厚德载物携梦想而抚凌。 学习不一定成功，不学习一定不能成功。期末考，加油！ 生命之中最快乐的是拼搏， 而非成功， 生命之中最痛苦的是懒散， 而非失败。 你要逼自己优秀，然后骄傲的生活，余生还长，何必慌张，以后 的你，会为自己所做的努力，而感到庆幸，别在最好的年纪选择 了安逸。期末考，加油！ 吃别人吃不了的苦， 忍别人受不了地气， 付出比别人更多的努力， 才会享受的比别人更多。 自强不息怀壮志以长行，厚德载物携梦想而抚凌。
