2021学年高中数学第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换学案新人教B版选修4

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1、1 1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换 对应学生用书 P1 读教材填要点 1(2021 年学科教研组精选汇编)直角坐标系 (1)直线上点的坐标 在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系， 简称数轴建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系 (2)平面直角坐标系 在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O 称为原点取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系在平面上建立了直角坐标系 后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系 (3)空间直角坐标系 过空间中一个定点

2、O，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐 标系建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组(x，y，z)之间就建立了一一对应 关系 2平面上的伸缩变换 设点P(x，y)是平面上的任意一点，在变换Error!(a0，b0) 的作用下，变为平面上的新点Q(X，Y)，这种变换就是平面上的伸缩变换 小问题大思维 1(2021 年学科教研组精选汇编)用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一 的？ 提示 ： 对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地 落在坐标轴，以便使计算更简单、方便 2 伸缩变换中的系数a，b有什么特点？在伸缩变换下， 平面直角坐标

3、系是否发生变化？ 提示：伸缩变换中的系数a0，b0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对 点的坐标进行伸缩变换 对应学生用书 P1 2 用坐标法求轨迹方程 例 1已知点H(3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上， 点M在直线PQ上， 且满足HP PM 0，PM MQ .当点P在y轴 3 2 上移动时， 求点M的轨迹C. 思路点拨设出动点M(x，y)， 将HP PM 0，PM MQ ， 坐标化后建立x，y 3 2 的关系式可求得 精解详析设M(x，y)，P(0，y)，Q(x，0)(x0)， PM MQ ，HP PM 0， 3 2 (x，yy) (xx，y)， 3 2 且(3，y)(

4、x，yy)0， Error! 3xyyy20. 将代入式得y24x(x0) 即动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点) 求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得 到对应的方程 (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系设点列式化简检验 (2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性 (3)由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题 1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直 线的斜率满足kOPkOAkPA.求点P的轨迹C的方程 解

5、：设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点， 则由kOPkOAkPA得， ， y x 1 1 y1 x1 3 整理得轨迹C的方程为yx2(x0 且x1). 用坐标法解决几何问题 例 2已知ABC中，ABAC，BD，CE分别为两腰上的高求证：BDCE. 思路点拨本题考查坐标法在几何中的应用解答本题可通过建立平面直角坐标系， 将几何证明问题转化为代数运算问题 精解详析如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标 系 设B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)， 则直线AC的方程为yxh， h a 即hxayah0. 直线AB的方程为yxh， h a 即hxayah0. 由点到直

6、线的距离公式得|BD|， |2ah| a2h2 |CE|， |2ah| a2h2 |BD|CE|，即BDCE. (1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转 化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想 (2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征例如，中心对称图形，可利用它的对 称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直 线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等 2在棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，BD的中点求E，F两 点间的距离 解：如图，以D为空间坐标原点，建立空间

7、直角坐标系，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)， B(1,1,0)， 4 E(1， ，1)，F( ， ，0) 1 2 1 2 1 2 |EF|，11 2 21 2 1 2 2102 5 2 即E，F两点间的距离为. 5 2 平面上的伸缩变换 例 3在同一坐标系下经过伸缩变换Error!后，圆x2y21 变成了什么曲线？ 思路点拨将伸缩变换中的x，y分别用X，Y表示，代入已知的曲线方程，即可得到 所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型 精解详析Error!Error! 代入圆的方程x2y21， 有 221， ( 1 3X)( 1 2Y) 1. X2 9 Y2 4 经过伸缩变换Error!后

8、， 圆x2y21 变成了椭圆1. X2 9 Y2 4 利用坐标伸缩变换Error!求变换后的曲线方程，其实质是从中求出Error!然后将其代入已 知的曲线方程求得关于X，Y的曲线方程 3在同一直角坐标系中，将直线 2xy3 变成直线 2X6Y9，求满足图形变换的伸 缩变换 解：设伸缩变换为Error! 将其代入 2X6Y9，得 2x6y9， 5 与 2xy3 进行比较，得Error! 故伸缩变换为Error! 对应学生用书 P3 一、选择题 1(2021 年学科教研组精选汇编)在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线Ysin X的伸缩变换是() A.Error!B.Error! C.Er

9、ror! D.Error! 解析：选 B设Error!将其代入Ysin X， 得ysin x，即ysin x. 1 比较y3sin 2x与ysin x， 1 可得3，2， ，2. 1 1 3 Error! 2 已知平面上两定点A，B， 且A(1,0)，B(1,0)， 动点P与两定点连线的斜率之积为1， 则动点P的轨迹是() A直线 B圆的一部分 C椭圆的一部分 D双曲线的一部分 解析：选 B设点P的坐标为(x，y)， 因为kPAkPB1， 所以1， y x1 y x1 整理得x2y21(x1) 故动点P的轨迹是圆除去点(1,0)，(1,0)的部分 3将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()

10、 A椭圆 B比原来大的圆 C比原来小的圆 D双曲线 解析：选 D由伸缩变换的意义可得 4已知两定点A(2,0)，B(1,0)如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围 6 成的图形的面积等于() A B4 C8 D9 解析：选 B设P点的坐标为(x，y)，|PA|2|PB|， (x2)2y24(x1)2y2 即(x2)2y24. 故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以 2 为半径的圆， 它的面积为 4. 二、填空题 5 ABC中 ，B( 2,0)，C(2,0)， ABC的 周 长 为 10， 则 点A的 轨 迹 方 程 为 _ 解析：ABC的周长为 10， |AB|AC|BC|10，其中

11、|BC|4， 则有|AB|AC|64， 点A的轨迹为椭圆除去与B，C共线的两点，且 2a6,2c4， a3，c2，b25， 点A的轨迹方程为1(y0) x2 9 y2 5 答案：1(y0) x2 9 y2 5 6将对数曲线ylog3x的横坐标伸长到原来的 2 倍得到的曲线方程为_ 解析：设P(x，y)为对数曲线ylog3x上任意一点，变换后的对应点为P(X，Y)由 题意知伸缩变换为Error! Error! 代入ylog3x得Ylog3X，即ylog3. 1 2 x 2 答案：ylog3x 2 7 把圆x2y216 沿x轴方向均匀压缩为椭圆X21， 则坐标变换公式是_ Y2 16 解析：设：E

12、rror! 则Error!代入x2y216 得1. X2 16a2 Y2 16b2 16a21,16b216. 7 Error!故Error! 答案：Error! 8 设平面上的伸缩变换的坐标表达式为Error!则在这一坐标变换下余弦曲线ycos x的 方程变为_ 解析：Error!Error! 代入ycos x得Y3cos 2X. 答案：Y3cos 2X 三、解答题 9 在同一平面直角坐标系中， 将曲线x236y28x120 变成曲线X2Y24X30， 求满足条件的伸缩变换 解：x236y28x120 可化为 29y21. ( x4 2) X2Y24X30 可化为(X2)2Y21. 比较，可

13、得Error!即Error! 所以将曲线x236y28x120 上所有点的横坐标变为原来的 ， 纵坐标变为原来的 3 1 2 倍，就可得到曲线X2Y24X30 的图象 10如图，动点M与两定点A(1，0)，B(1,0)构成MAB，且直线MA，MB的斜率之积 为 4.设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程 解：设M的坐标为(x，y)， 当x1 时，直线MA的斜率不存在； 当x1 时，直线MB的斜率不存在 于是x1 且x1. 此时，MA的斜率为，MB的斜率为. y x1 y x1 由题意，有4， y x1 y x1 8 化简可得，4x2y240. 故动点M的轨迹C的方程为 4x2y240(x1 且x1

14、) 11(2021 年学科教研组精选汇编)已知动点P(x，y)与两定点M(1,0)，N(1,0)连线 的斜率之积等于常数(0) (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状 解：(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零， 所以kPMkPN(0，x1)， y x1 y x1 整理得x21(0，x1) y2 即动点P的轨迹C的方程为 x21(0，x1) y2 (2)当0 时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)； 当10 时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； 当1 时，轨迹C为以原点为圆心、1 为半径的圆(除去点(1,

15、0)，(1,0)； 当1 时，轨迹 C 为中心在原点、焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)励 志名言 励 志名言 学习不一定成功，不学习一定不能成功。期末考，加油！ 生命之中最快乐的是拼搏， 而非成功， 生命之中最痛苦的是懒散， 而非失败。 你要逼自己优秀，然后骄傲的生活，余生还长，何必慌张，以后 的你，会为自己所做的努力，而感到庆幸，别在最好的年纪选择 了安逸。期末考，加油！ 学习不一定成功，不学习一定不能成功。期末考，加油！ 生命之中最快乐的是拼搏， 而非成功， 生命之中最痛苦的是懒散， 而非失败。 你要逼自己优秀，然后骄傲的生活，余生还长，何必慌张，以后 的你，会为自己所做的努力，而感到庆幸，别在最好的年纪选择 了安逸。期末考，加油！ 9 吃别人吃不了的苦， 忍别人受不了地气， 付出比别人更多的努力， 才会享受的比别人更多。 自强不息怀壮志以长行，厚德载物携梦想而抚凌。 吃别人吃不了的苦， 忍别人受不了地气， 付出比别人更多的努力， 才会享受的比别人更多。 自强不息怀壮志以长行，厚德载物携梦想而抚凌。