实变函数知识点总结-

《实变函数知识点总结-》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数知识点总结-（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一章第一章 集集 合合 1 集合的运算 1 集合的运算 一、集合的概念 一、集合的概念 定义 1 设有两个集合 A，B。 若 定义 1 设有两个集合 A，B。 若xA， 必有， 必有xB， 则称A是B的子集或B包含A， 记为， 则称A是B的子集或B包含A， 记为ABBA或。 若 。 若AB，且存在，且存在xB满足满足xA，则称 A 是 B 的真子集。 若 ，则称 A 是 B 的真子集。 若ABBA且，则称 A 与 B 相等或相同。 定义 2 设 ，则称 A 与 B 相等或相同。 定义 2 设是一个非空集合，对于每个是一个非空集合，对于每个，指定一个集合，指定一个集合A，于是得到许 多集合，它

2、们的总体称为集合族，记为 ，于是得到许 多集合，它们的总体称为集合族，记为|A或或A 。 。 二、集合的运算 二、集合的运算 定义 3 设 A，B 是两个集合。 （1） 称集合 定义 3 设 A，B 是两个集合。 （1） 称集合|ABx xAxB=或为 A 与 B 的并集， 即由 A 与 B 的全 部元素构成的集合； （2） 称集合 为 A 与 B 的并集， 即由 A 与 B 的全 部元素构成的集合； （2） 称集合|ABx xAxB=且为 A 与 B 的交集， 即由 A 与 B 的公 共元素构成的集合； 为 A 与 B 的交集， 即由 A 与 B 的公 共元素构成的集合； 定理 1定理 1（

3、1）交换律 （1）交换律 ABBA=，ABBA=； ； （2）结合律 （2）结合律 ()()ABCABC=, ,()()ABCABC=; （3） 分配律 ; （3） 分配律()()()ABCABAC=()()()ABCABAC=。 更一般地有 （4） 。 更一般地有 （4）()() ABAB = ； （5） ； （5）() ()ABAB = ； （6）设 ； （6）设 n A 和和 n B 为两集列，有为两集列，有 () 111 nnnn nnn ABAB = = 。 定义 4 设 A，B 是两个集合，称集合 。 定义 4 设 A，B 是两个集合，称集合|A Bx xA xB=且是 A 和 B

4、 的差集， 即在集合中而不在集合 B 中的一切元素构成的集合。如果 是 A 和 B 的差集， 即在集合中而不在集合 B 中的一切元素构成的集合。如果BA，则称，则称 A B为 B 相对于 A 的补集或余集。 为 B 相对于 A 的补集或余集。 定理 2定理 2 （1）（1）(), c ccccc AAX AAAA XX= =； ； （2）（2）AB= c AB； （3）若 ； （3）若AB，则，则 cc AB； （4）若 ； （4）若AB=，则，则 c AB； （5） ； （5）()() () ()(),A BCA CB CA B CA B C =。 。 定理 3定理 3 （D Morgan

5、法则） （D Morgan 法则） （1）（1）() XAXA = ； （2） ； （2）() XAXA = ； 特别的，若 X 为全集，有 （3） ； 特别的，若 X 为全集，有 （3）() c c AA = ； （4） ； （4）() c c AA = 。 定义 5 设 X 与 Y 是两个集合， 称集合 。 定义 5 设 X 与 Y 是两个集合， 称集合(),|,XYx yxX yY=是 X 与 Y 的直 积集，简称 X 与 Y 的直积，其中 是 X 与 Y 的直 积集，简称 X 与 Y 的直积，其中() () 1122 ,x yx y= 是指是指 12 xx=且且 12 yy=。 。 三

6、、集合列的极限集 三、集合列的极限集 定义 6 设定义 6 设 k A是一列集合，分别称集合 是一列集合，分别称集合 lim| k k Ax = k 存在无穷多个k，使xA lim| k k Ax = k 只有有限个k，使xA 是集合列是集合列 k A的上极限集与下极限集。 的上极限集与下极限集。 注解注解：lim k k xA 存在 存在 k A的子集列的子集列 i k A，使使 i k xA，1,2i =?； ； lim k k xA 存在 存在0N，当，当kN时，时， k xA ； ； 11 limlim kkkk kkk k AAAA = 定理 4定理 4 设集列 设集列 k A，则（

7、1），则（1） 1 lim kk knkn AA = = ； （2）（2） 1 lim kk nkn k AA = = 。 注解注解：() limlim kk k k EAEA = () limlim kk k k EAEA = 定理 5定理 5（1）若（1）若 k A是单调递增集列，则是单调递增集列，则 1 lim kk kk AA = = （2）若（2）若 k A是单调递减集列，则是单调递减集列，则 1 lim kk kk AA = = 四、集类 四、集类 定义 8 设 X 为一个集合，定义 8 设 X 为一个集合，是 X 上的一个非空集类， 如果对任何是 X 上的一个非空集类， 如果对任

8、何 12 ,E E， 都有 ， 都有 1212 ,EEEE， 则称 ， 则称为 X 上的一个环。 如果还有为 X 上的一个环。 如果还有X， 则称， 则称为 X 上的一个代数或域。 如果对任何一列 为 X 上的一个代数或域。 如果对任何一列 k E，均有，均有 12 1 , k k EEE = ， 则称 ， 则称为 X 上的为 X 上的环，如果还有环，如果还有X，则称则称为 X 上的一个为 X 上的一个代数或代数或 域。 域。 定理 6 定理 6 若若为环，则 为环，则 （1）（1） （2）任意（2）任意 12 ,E E，有，有 12 EE （3）若（3）若() 是 X 上的环（或代数） ，则

9、 是 X 上的环（或代数） ，则 是 X 上的环（或代数） 。 是 X 上的环（或代数） 。 定理 7定理 7 设设为为环，则 环，则 （1）（1）为环； （2）对任意 为环； （2）对任意,1,2, n En=?有有 1 n n E = ； （3）对任意 ； （3）对任意,1,2, n En=?有有lim,lim nn n n EE ； （4） ； （4）() 为 X 上为 X 上环（环（代数） ，则代数） ，则 是 X 上是 X 上环（环（ 代数） 。 代数） 。 定理 8定理 8 设设A是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯

10、一的环 （或代数， 环，环， 代数）代数），使 ，使 （1）（1）A； （2）任何包含 ； （2）任何包含A的环（或代数，或的环（或代数，或环或环或代数）代数） * ，必有，必有 * 。 定义 9 定理 8 中的环（或代数，或 。 定义 9 定理 8 中的环（或代数，或环或环或代数）代数）称为称为由集类由集类A所张成的 环 所张成的 环（或代数，或（或代数，或环或环或代数） ，并用代数） ，并用( )A（或（或( )A或或( )A 或 或 ( )A ）来表示。 例题：设 X 为一非空集合， ）来表示。 例题：设 X 为一非空集合，A A为 X 的单点集全体所成的集类，则由 为 X 的单点集全体

11、所成的集类，则由 集类集类A A所张成的环所张成的环( )A= =|B B是X的有限子集 若 X 为有限集，若 X 为有限集，( )A也是代数、也是代数、环、环、代数 代数 若若| n Xa nN= ，则，则( )A= =|B B是X的有限子集 ( )A = =( )A = =2 A =|BBX 2 2 集合的势 集合的势 一、映射 一、映射 定义 1 有关映射的一些概念（舍）见教材 P9。 定义 1 有关映射的一些概念（舍）见教材 P9。 定理 1 定理 1 设设:T XY为映射，则 为映射，则 （1）（1）()() 1212 ;AAXAT A当时，有T （2） （2）()()() ,;TA

12、T AAX = （3） （3）() ()(),;TAT AAX （4）（4）()() 1 1212 ;BBYBTB -1 当时，有T （5） （5） () ()() 11 ,;TBTBBY = （6） （6）()()() 11 ,;TBTBBY = （7） （7）()( )() 11 c c TBTB = 由此看出由此看出原像集的性质保持原像集的性质保持比比像集的性质保持要好像集的性质保持要好 注解注解：、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为：、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为 空集即可； 、 空集即可； 、()()( )

13、( )T AAT AA= -1-1 一般T，当T为单射时,有T 、 、()() 11 ( )( )TBBTBB =一般T，当T为满射时,有T 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与对等集合 A 与对等， 记为 AB ， 记为 AB 注解注解：、对等关系是等价关系 、设 ：、对等关系是等价关系 、设 |,|AB ，其中其中 A 两两互不相交，两两互不相交

14、， B 两两互 不相交。若对任意的 两两互 不相交。若对任意的，有，有A B，则，则 A B 定义 4 如果集合 A 与 B 对等，则称 A 与 B 有相同的势或基数，记为定义 4 如果集合 A 与 B 对等，则称 A 与 B 有相同的势或基数，记为AB=（其 中 （其 中A表示 A 的势或基数） 定义 5 设集合 A 与 B，记 表示 A 的势或基数） 定义 5 设集合 A 与 B，记,AB=， 如果 A ， 如果 A 1 BB，则称，则称不大于不大于，记为，记为AB=， 如果如果且，则，则小于小于，记为，记为AB=， 使， 使(),B xG， 则称 G 为， 则称 G 为 n R 中开集。

15、 中开集。 定理 1定理 1 n R中开集构成的集族中开集构成的集族满足下述三条性质： 满足下述三条性质： （1）（1）,; n R （2） （2）; 1212 若G ,G，则GG （3） （3）,;G 若G则 称 称为为 n R上的一个拓扑，上的一个拓扑，( ) , n R为拓扑空间。 为拓扑空间。 注解注解：无穷多个开集的交集不一定为开集，例如：无穷多个开集的交集不一定为开集，例如 1 11 ,0 nnn = = 为闭集 为闭集 定义 7 （1）设定义 7 （1）设 n xR，若 G 为，若 G 为 n R 中的开集且中的开集且x G，则称 G 为 x 的一个领域 （2）设 ，则称 G 为 x 的一个领域 （2）设 n ER，如果存在 x 的一个领域 G，使得，如果存在 x 的一个领域 G，使得GE，则称 x 为 E 的 内点。 （3）设 ，则称 x 为 E 的 内点。 （3）设 n ER， n xR，如果对 x 任意领域既含有 E 的点，又含有，如果对 x 任意领域既含有 E 的点，又含有