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1、 84 考研数学公式定理背诵手册（数学二）考研数学公式定理背诵手册（数学二） 第一部分第一部分 高等数学高等数学 一、函数、极限与连续一、函数、极限与连续 1基本初等函数基本初等函数 基本初等函数共有以下六个，其性质和图形必须牢记 （1）常数函数：( )y xc= （2）幂函数：( a yxa=为常数) （3）指数函数：( x yaa=是常数且0,1)aa （4）对数函数：log( a yx a=是常数且0,1)aa，定义域(0,)+，它是指数函数 x ya=的反函数 （5）三角函数： 正弦函数sin ()yxx= + 余弦函数cos ()yxx= = （3）取整函数： yx=，y是x的最大整
2、数部分 （4）狄利克雷函数： 1, ( ) 0, . x yf x x = 当 为有理数时, 当 为无理数时 3. 函数的基本特性函数的基本特性 奇函数或偶函数运算具有以下结论： 奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数（）奇函数偶函 数；偶函数（）偶函数偶函数；奇函数（）偶函数奇函数 4两个重要极限两个重要极限 重要极限： 0 sin lim1 x x x = 重要极限： 1 lim 1 x x e x += 5间断点间断点 （1）( )f x在点 0 x处无定义； （2） 0 lim( ) xx f x 不存在； （3） 0 0 lim( )() xx f xf x ， 则称点 0
3、x为( )f x的间断点 6连续函数的和、积及商的连续连续函数的和、积及商的连续 定理定理 1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数 定理定理 2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数 定理定理 3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数， 只要分母在该点不为零 86 7反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性 定理定理 4 如果函数( )yf x=在区间 x I上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的 反函数( )xy=也在对应的区间 |( ), yx Iy yf x xI=上单调增加（或单调减少）且 连续 定理定理 5 设函数( )ux=当 0 x
4、x时的极限存在且等于a，即 0 lim( ) xx xa =，而函 数( )yf u=在点ua=连续，则复合函数 ( )yfx=当 0 xx时的极限也存在且等于 ( )f a，即 0 lim ( )( ) xx fxf a = 定理定理 6 设函数( )ux=在点 0 xx=处连续，且 00 ()xu=，而函数( )yf u=在点 0 uu=连续，那么复合函数 ( )yfx=在点 0 xx=也是连续的 8初等函数的连续性初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 9闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 定理定理 1（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续
5、的函数在该区间上一定有最大值和 最小值 定理定理 2（有界性定理）（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理定理 3（零点定理）（零点定理） 设函数( )f x在闭区间 , a b上连续，且( )f a与( )f b异号（即 ( )( )0f af b，则在开区间( , )a b内至少有函数( )f x的一个零点，即至少有一个 ()ab使( )0f= 定理定理 4（介值定理）（介值定理） 设函数( )f x在闭区间 , a b上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值( )f aA=及( )f bB=，则对于A与B之间的任意一个数c，在开区间( , )a b内 至少有一点，使得
6、( )()fc ab=， ( ) () xnx ee=； （2） ( ) (sin)sin 2 nn kxkkxn =+ ； 88 （3） ( ) (cos)cos 2 nn kxkkxn =+ ； （4） ( ) ()(1)(1) mnm n xm mmnx =+?； （5） ( )1( 1)! (ln )( 1) nn n n x x = ； （6）莱布尼茨公式：若( )u x，( )v x均n阶可导，则 ( )( )() 0 () n niin i n i uvC u v = =，其中 (0) uu=， (0) vv= 5.曲线的渐近线分为三类： （1）垂直浙近线；若 0 x是函数( )
7、f x的无穷间断点，则直线 0 xx=是( )yf x=的垂直 渐近线 （2）水平渐近线：若lim( ) x f xa =，则直线ya=是( )yf x=的一条水平渐近线. （3）斜渐近线：若lim ( )()0 x f xaxb +=，则直线(0)yaxb a=+是( )yf x=的 斜渐近线 6微分中值定理微分中值定理 定理定理 1（费马定理）（费马定理） 设( )yf x=在 0 x点可导，则 0 x是( )f x的极值点的必要条件是 0 ()0fx= 定理定理 2（罗尔定理）（罗尔定理） 设函数( )f x在 , a b上满足三个条件： （1）( )f x在 , a b上连续； （2）
8、( )f x在( , )a b内可导； （3）( )( )f af b=，则存在( , )ca b使 ( ) 0f c = 定理定理 3（拉格朗日定理）（拉格朗日定理） 设函数( )f x在 , a b上连续，在( , )a b内可导，则存在 ( , )ca b，使 ( )( ) ( ) f bf a f c ba = （2.3） 有时我们称（2.3）式为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 定理定理 4（柯西定理）（柯西定理） 设函数( )f x和( )g x满足条件： （1）在 , a b上连续， （2）在( , )a b 内可导，且 ( ) 0g x ，则存在( , )xa b，使 ( )(
9、 )( ) ( )( )( ) ff bf a gg bg a = 89 定理定理 5 0 0 型洛必达法则 设( )f x，( )g x在 0 x的某去心邻域内可导，且 0 lim( )0 xx f x =， 0 lim( )0 xx g x =若 0 ( ) lim ( ) xx fx L g x =存在（L可以是） ，则 00 ( )( ) limlim ( )( ) xxxx f xfx L g xg x =存在 定理定理 5 型洛必达法则 设( )f x，( )g x在 0 x的某去心邻域内可导，且 0 lim( ) xx f x = ， 0 lim( ) xx g x = 若 0
10、( ) lim ( ) xx fx L g x =存在，则 00 ( )( ) limlim ( )( ) xxxx f xfx L g xg x =（L可以是， 0 x可以是点） 注注 用洛必达法则必须注意其条件，同时若 0 ( ) lim ( ) xx fx g x 不存在，只能说洛必达法则不 能用，而不能肯定 0 ( ) lim ( ) xx f x g x 是否存在 定理定理 6（局部泰勒公式） 设( )f x在 0 x点有n阶导数，则 2 00000 1 ( )()()()()() 2! f xf xfxxxfxxx=+? ( ) 0000 1 ()()() )() ! nnn fx
11、xxxxxx n +， 其中 ( ) 00000 1 ( )()()()()() ! nn n P xf xfxxxfxxx n =+?，称为n阶泰勒多项式阶泰勒多项式， 0 () ) n xx称为皮亚诺余项皮亚诺余项这个公式是微分公式的推广，当1n =时泰勒公式就是微分 公式 定理定理 7（泰勒中值公式） 设( )f x在包含 0 x在包含 0 x的某个区间上具有1n+阶导数， 则对于此区间内任一点x，皆有 ( )( )( ) nn f xP xR x=+， 其中( ) n P x是n阶泰勒多项式，( ) n R x是余项，称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项，它的表达式为 (1)() 11 0
12、0 00 ()( ) ( )()() (1)!(1)! nn nn n fxxxf R xxxxx nn + + + = + 90 请记住以下 5 个简单初等函数的泰勒公式： 2 1 1 1 2!(1)! n xxn xx exe x nn + = + + ? （余项或() n x） ， 321 121 1 sin( 1)( 1)cos 3!(21)!(21)! k kkk xx xxxx kk + =+ + + ? 222 12 1 cos1( 1)( 1)cos 2!(2 )!(22)! k kkk xx xxx kk + = + + + ? 2 (1)(1)(1) (1)1 2! an
13、a aa aan xaxxx n + += + ? ? 1 (1)() (1) (1)! a n a aan x n + + ? （余项或() n x） ， 231 11 ln(1)( 1)( 1)(1) 231 nn nnn xxxx xxx nn + +=+ + + + ? 定理定理 8 若函数( )f x在某区间I上的导数 ( ) 0fx（或 ( ) 0fx） ， 则在此区间( )f x 单调增加（或单调减少） 定理定理 9 可导函数( )f x在区间I上单调不减（或不增）的充分必要条件是，在I上处 处有 ( ) 0fx（或 ( ) 0fx） 定理定理 10 设( )f x在点a的某邻域
14、内连续， 除a点外处处可导， 且当xa （或 ( ) 0fx时， ( ) 0fa） ，则点a是( )f x的极大值点（或 极小值点） 特别，如果函数( )f x在a可导，便有 ( ) 0fa= 定理定理 11 （极值的充分条件） 若函数( )f x具有二阶导数，且 ( ) 0fa=，则当 ( ) 0fa时，点a是( )f x的极大值点（或极小值点） 定理定理 12 若在某区间I内处处有 ( ) 0fx（或 ( ) 0fx， 0 lim( )0 xb f x （或 0 lim( )0 xa f x + ， 0 lim( )0 xb f x （或0M ）时，在 , a b上( )f x与x轴没有交
15、点，故( )f x没有零点， 即( )0f x =没有实根； （2）当0m =（或0M =）时，在 , a b上( )f x与x轴只有一个交点，故( )f x只有 一个零点，即( )0f x =只有一个实根； （3）当0m ）时，在 , a b上( )f x与x轴有且只有两个交点，故( )f x有 且仅有两个零点，即( )0f x =有且只有两个实根 命题 4 设函数( )f x在 , a b（, a b为有限或无穷）上连续， 0 lim( ) xa Af x + =， 0 lim( ) xb Bf x =( ,A B为有限或无穷） ，且( )f x在 , a b上的最小值为m（或最大值为M） 仅在( , )ca b处达到，( )f x在( , )a c内单调减少（或增加） ，在( , )c b内单调增加（或减 少） 如AB（,A B为有限数） ，( )f x的取值范围为( , )m B( ,)A M或，则 （1）当km）时，在 , a b上曲线( )f x与直线yk=没有交点，故方程 ( )f xk=没有实根 （2）当km=时（或kM=）时，在 , a b上曲线( )f x与直线yk=仅有一个交点， 92 故方程( )f xk=仅有一实根 （3）当mkA（或BkM
