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1、.,现代电路理论与设计,第章无源网络的分析与设计,.,2.1 用直接法综合无源网络,.,2.1.1 LC网络的输入阻抗,1 LC网络的输入阻抗及其零极点分布 常用的六种LC网络的输入阻抗及其零极点分布如图所示。,.,LC网络,L2,输入阻抗,零、极点的位置,.,LC网络输入阻抗Z(s)零点和极点的特点：,LC网络输入阻抗的零点和极点都在虚轴上、是简单的; 零点和极点是交替出现的, 不会有两个零点或两个极点在虚轴上相邻的情况； 原点处既可能出现零点，也可能出现极点； LC网络输入阻抗的区别在于零点和极点的数目以及在虚轴上的位置； 一对共轭复频率jo共同形成(s2+o2)项。因此，如果Z(s)有一
2、个极点在原点处，则Z(s)的表达式的形式为：,极 零 极 零 极,.,如果Z(s)有一个零点在原点处，则Z(s)的表达式的形式为：,也就是说，如果最高的截止频率是一对极点，则分母多项式的次数比分子多项式的次数高。 如果最高的截止频率是一对零点，则分母多项式的次数比分子多项式的次数低。 当s很大或很小时，Z(s)是如下两种情况中的一个：,也就是说，在频率接近零或无穷大时，输入阻抗相当于一个电感或电容。,零 极 零 极 零,.,例2.2 已知一个网络的输入电抗变化曲线如图2-1-2所示。求其阻抗表达式Z(s).,解：(1)从电抗曲线可知，Z(s)的极点为s=0和s=j3( =3,则j3) ，零点为
3、 s=j2 和s=。由此可写出Z(s)的表达式：,.,(2) 求H: 令s=j,沿虚轴计算Z(s):,从电抗曲线可知,当=1时，Z()=-1.于是可求得： H=8/3,(3)所求的阻抗函数为：,.,比较,和,可得如下关系：,求得各元件值为：,可用如下电路实现：,.,1 RC网络的输入阻抗及其零极点位置 八种常用的RC网络的输入阻抗及其零极点位置如图所示.,2.1.2 RC网络的输入阻抗,.,.,.,RC网络输入阻抗Z(s)的特点：,零点一定在负实轴轴上，是简单的。 极点在负实轴轴上或原点处，是简单的。 零点和极点是交替出现的； 靠近原点处的第一个临界频率是极点。,.,2.2 用部分分式法综合无
4、源网络,.,利用部分分式法综合实现的网络称为福斯特网络。其中， 只包含电感和电容元件的福斯特网络称为LC福斯特网络。 只包含电阻和电容元件的福斯特网络称为RC福斯特网络。 这些网络都是通过网络的端口特性进行设计的。网络的端口特性可以用阻抗表示，也可以用导纳表示。根据阻抗表示式实现的福斯特网络称为福斯特1型网络，根据导纳表示式实现的福斯特网络称为福斯特2型网络。,.,.,2.2.1 C福斯特1型网络 (1)C福斯特1型网络的结构 为了实现福斯特1型网络，考虑LC网络阻抗最常用的表达式：,.,将Z(s)的表达式展开为部分分式，并将复共轭项组合，得：,K的求法如下：,.,由上式可知： 第一项:Z1=
5、Hs, 可以用一个电感量为H亨的电感实现： 第二项:Z2=k0/s, 可以用一个电容量为1/k0法拉的电容实现： 第三项：,.,其中，,导纳Y3由两个导纳组成，第一个是导纳为1/k1法拉的电容，第二个是导纳为k1/2p1亨利的电感。电容和电感并联构成阻抗Z3。 式（2-2-2）的其它各项也可以由电容和电感并联构成。 式（2-2-2）的完全实现电路如图2-2-1所示。,.,图2-2-1 福斯特1型网络的实现,.,（2）福斯特1型网络的特点,凡是归一化系数为正、在虚轴上具有相互交替的简单零点和极点的有理函数所表示的输入阻抗都可以用图2-2-1所示的福斯特1型网络实现； 第一个电感使Z()= ,即Z
6、(s)在s=时为无穷大。如果没有它，Z()=0。这是因为在这种情况下，两个输入端之间由多个电容连通； c. 第一个电容使Z(0)=,即Z(s)在s=0时为无穷大。如果没有它，Z(0)=0。这是因为在这种情况下，两个输入端之间有多个电感连通；,.,d. Z(s)的每一个极点对应一个元件； e. 电容和电感的数目要么相等，要么差值为1； f. 该网络实现了Z(s)的全部各种极点：第一个串 联电感实现了无穷大处的极点；第一个串联电容实现了原点处的极点；第一个并联LC电路实现了jp1处的极点；第n个并联LC电路实现了jpn处的极点； g. 从福斯特1型网络不能看出零点的分布情况。,.,实现无穷大处的极
7、点z()=,实现原点处的极点z()=,实现jpi处的共轭复数点极点z()=,LC福斯特1型网络及其各元件的功能,.,(3) LC福斯特1型网络元件数目的确定,a. 福斯特1型网络元件数目由网络阻抗函数Z(s)的 极点总数目(包括无穷大处极点的数目)确定。 b. 串联电感和串联电容的确定 （a）如果元件的数目(极点的数目)为奇数，就需要一个串联电感或串联电容。 具体可以根据Z(0)的值是零还是无穷大来确定网络的第一个串联元件是电感还是电容。 如果Z(0)=0, 则网络的第一个串联元件是电感。 如果Z(0)= ,则网络第一个串联元件是电容。,.,也可以根据Z() 值确定网络的第一个串联元件是电感还
8、是电容。 如果Z()=0, 则网络的第一个串联元件是电容。 如果Z()= ,则网络的第一个串联元件是电感。 (b) 如果元件的数目为偶数，则网络的串联电感和串联电容要么都需要，要么都不需要。 如果Z(0)= 或Z()= , 则网络的串联电感和串联电容都需要。 如果Z(0)=0或Z()=0, 则网络的串联电感和串联电容都不需要。,.,c.确定LC并联网络的个数 LC并联网络的个数根据阻抗函数共轭极点的对数来确定。,.,（4）福斯特1型网络元件数值的确定,网络元件的数值由Z(s)的表达式确定。下面举例说明。,.,例2.5 (a)已知网络的阻抗函数 假设H=1, 求对应的LC福斯特1型网络； (b)
9、假设H=10, 求对应的LC福斯特1型网络； (c)如果Z(s)的表达式中的s用10s代替，求对应的LC福斯特1型网络 。,.,解： (a) (1)求电路结构 Z(s)的极点为j1, j3, 零点为0，j2，。极点和零点都为简单极点且在虚轴上交替出现，归一化因子为正，因此Z(s)为可实现的LC网络的输入阻抗。 Z(s)有4个极点，因此网络可以用4个元件实现；因为Z(0)=0,因此没有串联电容；因为网络元件数目为偶数,因此没有串联电感；因此网络由2个LC并联电路实现，如图2-2-2。,.,.,为了求网络中的元件值，将Z(s)展开为部分分式，并合并为复共轭的形式：,.,由此可得：,.,.,LC网络
10、,L2,输入阻抗,零、极点的位置,.,元件值的求法: 方法:根据图2-2-2给出的各元件的值求. 电容的值为 电感的值为,.,(b) 如果阻抗的归一化因子H乘以10，即H由1 变为10，就说明网络的阻抗扩大为原来的10倍。则每个元件的阻抗应扩大10倍。 于是，L1和L2变为10 L1和10L2; C1和C2变为C1/10和C2/10。,.,(c) 如果Z(s)的表达式中的s用10s代替，就说明电路的工作频率增加为原来的10倍。则每个电感的感抗和每个电容的导纳增大为原来的10倍。 于是, L1和L2变为10 L1和10L2; C1和C2变为10C1和10C2。,.,2.2.2 福斯特2型网络的实
11、现,(1) 福斯特2型网络的结构 为了实现福斯特2型网络，考虑LC网络导纳的最常用表达式：,将Y(s)的表达式展开为部分分式，并将复共轭项组合，得(注意:与Z(S)的形式相同,但性质是导纳.),.,式（2-2-5)中，系数K的求法如下（注意:与Z(S)的形式相同,但运算对象是导纳）：,.,从式（2-2-5）可知，Y(s)为导纳之和，所以该网络可以由并联元件实现： 第一项Hs, 可以用一个电容量为H法拉的电容实现； 第二项k0/s, 可以用一个电感量为1/k0亨的电感实现； 第三项是：,.,其中，,阻抗Z3由两部分组成，第一个是1/k1亨利的电感，第二个是k1/2p1法拉的电容。电容和电感串联构
12、成阻抗Z3。 式（2-2-5）的其它各项也可以由电容和电感串联构成。 式（2-2-5）的完全实现电路如图2-2-3所示。,.,图2-2-3 福斯特2型网络的结构,.,（2）福斯特2型网络的特点,由以上推导和图2-2-3 可以看出，福斯特2型网络具有以下特点.(为了统一, 还是讨论Z(S) a. 凡是归一化系数为正、在虚轴上具有相互交替的简单零点和极点的有理函数所表示的输入阻抗都可用图2-2-3所示的福斯特2型LC网络实现； b. 第一个电容实现Z()= 0。 如果没有它，其它的电感在s=时会使网络开路，从而使Z()= ； c. 第一个电感实现Z(0)= 0。 如果没有它，其它的电容在s=0时会
13、使网络开路，从而使Z(0)= ；,.,d. 该网络实现了Z(s)的全部各种零点：第一个并联电容实现了无穷大处的零点；第一个并联电感实现了原点处的零点；第一个串联LC电路实现了jp1处的零点；第n个串联LC电路实现了jpn处的零点；（LC串联之路的个数取决于阻抗函数共轭复数零点的个数） e.从福斯特2型网络不能看出Z(s)的极点的分布情况。,.,图2-2-3 福斯特2型网络的结构,网络的特点,.,.,（3）福斯特2型网络元件数目的确定,Z(s)的每一个极点对应一个元件。因此，由网络阻抗函数Z(s)的极点总数目(包括无穷大处极点的数目)确定。 (这是根据福斯特2型网络元件数目的确定方法推得的),.
14、,b. 并联电感和并联电容的确定 电容和电感的数目要么相等，要么差值为1； 如果元件的数目为奇数，就需要一个并联电感或并联电容。具体可以根据Z()和Z(0)的值来确定。 如果Z()=0, 则网络的第一个元件是并联电容； 如果Z(0)=0, 则网络的第一个元件是并联电感。,.,如果元件的数目为偶数，则网络的并联电感和并联电容要么都需要，要么都不需要。 如果Z()=0 则网络的并联电感和并联电容都需要。 如果Z(0)= ,则网络的并联电感和并联电容都不需要。,.,c. LC串联网络的个数的确定 LC串联网络的个数=总的元件数目-并联电容和并联电感的数目 3）福斯特2型网络元件数值的确定 网络元件的
15、数值由Z(s)的表达式确定,.,例2-2-2 用福斯特2型网络实现如下输入阻抗函数,解: a）阻抗函数Z(s)有4个极点j1, j3 ，三个有限零点0, j2,一个无限远处的零点. 零点和极点互相交替. 所以, 可以用LC福斯特网络实现该阻抗函数。,例2-6,.,解：b）. 确定网络元件的数目及电路 由于Z(s)有4个极点j1, j3 ，所以网络总共有4个元件。 由于Z(0)=0，所以需要一个并联电感。 由于元件数目为偶数，所以需要一个并联电容。 由此可以确定电路的结构如图2-2-4 所示：,.,用1型网络实现,用2型网络实现,用不同网络实现相同的转移函数,.,b. 确定元件值 由Y(s)的部
16、分分式可知：,其中，H=1,.,其中,.,根据Y(s)的表达式和图2-2-3 中的元件的关系可以求得各元件的值为：,.,也可以根据Y(s)的展开式求元件值：,与原电路比较可知有如下关系：,.,2.2.3 RC福斯特1型网络的实现 (1) RC福斯特1型网络的结构,图2-2-1 RC福斯特1型网络的结构,.,福斯特2型RC网络的结构,福斯特1型RC网络的结构,.,设1 =0，即 分子多项式和分母多项式的次数相等，则上式可表示为：,为了实现福斯特1型RC网络，考虑RC网络阻抗最常用的表达式：,.,LC网络,K的求法如下,实现电路如图所示：,.,.,图2-10 福斯特1型RC网络的实现,实现原点处的极点Z(0)=,防止s=时网络被电容短路,负实轴上位于(-1/RiCi)处的极点z()=,.,（2）福斯特1型RC网络的特点,由以上推导和图2-2-1 看出，福斯特1型网络具有以下特点 a
