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1、【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 8.5圆锥曲线的综合问题课时提能训练 理 新人教A版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.设e为椭圆1(m2)的离心率，且e(，1)，则实数m的取值范围为()(A)(1,0) (B)(2，1)(C)(1,1) (D)(2，)2.抛物线y24x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有()(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个3.(预测题)F1、F2是椭圆1的两个焦点，P为椭圆的一个顶点，若PF1F2是等边三角形，则a2等于()(A)12 (B) (C)12或 (D)164.(
2、2012防城港模拟)在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()(A)(2,1) (B)(1,2)(C)(2,1) (D)(1,2)5.(2011新课标全国卷)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()(A)18 (B)24 (C)36 (D)486.已知椭圆1(a0，b0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则椭圆的离心率是()(A) (B)1(C)1 (D)1二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)已知F1、F2是椭圆C
3、：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且.若PF1F2面积为9，则b.8.(2012来宾模拟)已知抛物线方程为y24x，直线l过定点M(2,1)，斜率为k，当直线l与抛物线y24x只有一个公共点时，斜率k取值的集合为.9.过抛物线x22py(p0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012柳州模拟)已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切.(1)求椭圆C的方程：(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点
4、，且0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.11.已知m1，直线l：xmy0，椭圆C：y21，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.【探究创新】(16分)如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
5、(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1k21；(3)是否存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.原方程变为椭圆标准方程形式为：1，故椭圆中基本量为a22，b2m，c2a2b22m，e2，又e(，1)，故e2(，1)，即1，解之得1m0)的焦点F(，0)把x代入y22px，解得yp，由图可得A(，p)，又E(，0) 故|AE|p，|AF|p，|EF|p.所以2a|AE|AF|(1)p,2cp，椭圆的离心率e1，同理，当A点在第四象限时，椭圆的离心率也为1.故选C.【变式备选】A是椭圆长轴的一个端点，O是
6、椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA，则椭圆离心率的范围是.【解析】设椭圆方程为1(ab0)，离心率为e，P(x2，y2).以OA为直径的圆：x2axy20，两式联立消y得x2axb20.即e2x2axb20，该方程有一解x2，一解为a，由根与系数的关系知x2a,0x2a，即0aae1.答案：(，1)7.【解析】由题意得式两边平方得：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，、代入上式得4c2364a2，即a2c29，故b3.答案：38.【解析】当l与x轴平行时，k0，当l与x轴不平行时k0，设直线l：y1k(x2)代入y24x，0，得：k1或.答案：0，1，9.【解析】设直线方
7、程为yx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合x22py(p0)得到x22pxp20，而梯形的面积为12，p2.答案：210.【解析】(1)圆M的圆心为(3,1)，半径r.由题意知A(0,1)，F(c,0)(c)，得直线AF的方程为y1，即xcyc0.由直线AF与圆M相切得，c22，a2c213，故椭圆C的方程为y21.(2)由0知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1，将ykx1代入椭圆C的方程，整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故点P的坐标为(，).同理，点Q的坐标为(，)，直线l的斜率为，直线l的方程为y(x)，即yx
8、.直线l过定点(0，).11.【解题指南】(1)利用点F2在l上求l的方程；(2)先利用2，2，表示出点G、H的坐标，然后结合点O在以线段GH为直径的圆内求解m的范围.【解析】(1)因为直线l：xmy0经过F2(，0)，所以，得m22，又因为m1，所以m.故直线l的方程为xy10.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得2y2my10，则由m28(1)m280，知m28，且有y1y2，y1y2.由于F1(c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点.由2，2，可知G(，)，H(，)，以线段GH为直径的圆的方程为(x)(x)(y)(y)0.又点(0,0)在圆内，(0)(0)(0)
9、(0)0，因此x1x2y1y20，又x1x2y1y2(my1)(my2)y1y2(m21)()，所以0，即m24.又因为m1且0，所以1m2.所以m的取值范围是(1,2).【探究创新】【解析】(1)由题意知，椭圆离心率为，得ac，又2a2c4(1)，所以a2，c2，所以b2a2c24，所以椭圆的标准方程为1；所以椭圆的焦点坐标为(2,0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为1.(2)设点P(x0，y0)(x02)，则k1，k2，所以k1k2，又点P(x0，y0)在双曲线上，所以有1，即yx4，所以k1k21.(3)假设存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立，由(2)知k1k21，所以设直线AB的方程为yk(x2)，则直线CD的方程为y(x2)，由方程组消y得(2k21)x28k2x8k280，设A(x1，y1)，B(x2，x2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则由根与系数的关系得x1x2，x1x2，所以|AB|，同理可得|CD|，又因为|AB|CD|AB|CD|，所以有，所以存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立.- 7 -
