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1、韩城象中毋宁,选修1-2：,第三章 推理与证明,反证法典例,例1. 已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。,证明：设整数a的平方能被2整除. 假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2m+1(m是整数) a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以a是偶数。,例2.证明：如果ab0，那么,例3.已知a0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。,已知：在O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD 不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。,A,B,C,D,例4.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.,例5.求证：
2、是无理数.,(4)结论为 “唯一”类的命题。,正难则反!,应用反证法的情形：,(1)直接证明困难;,(2)需分成很多类进行讨论；,(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 这一类的命题；,例6.已知a+b+c0, ab+bc+ca0, abc0. 求证: a,b,c0,证明: 假设c0, ab0.,所以, a,b,c0.,ab+bc+ca=ab+(a+b)c0.,矛盾!假设不成立.,例7.已知0a,b,c1, 求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4.,证明: 假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同时大于1/4.,则,(1)+(2)+(3)得:
3、 00,矛盾! 假设不成立.,所以,(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4.,例7.已知0a,b,c1, 求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4.,证明: 假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同时大于1/4.,则,(1)+(2)+(3)得:,矛盾! 假设不成立.原结论成立.,例8. 已知 : f (x)=x2+px+q. 求证 : |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一个不小于 .,例9.已知A,B,C为三个正角. 且sin2A+sin2B+sin2C=1. 求证: A+B+C900.,解:假设A+B+C 900, 由于A,B,C为三个正角, 所以它们都为锐角, 且有cos(A+B)cos(A-B). 1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B) 1-cos2(A-B) 1. 矛盾! 假设不成立. 从而, A+B+C900.,推理,合情推理 演绎推理 （归纳、类比） （三段论）,证明,直接证明 间接证明 （分析法、综合法） （反证法）,数学公理化思想,
